CONTENIDOS

• Determinante: concepto y propiedades elementales.



• Métodos para calcular determinantes.



• Menores. Cálculo del rango mediante determinantes.



• Cálculo de la inversa mediante determinantes.



• Regla de Cramer.



• Otras utilidades del determinante.

OBJETIVOS

1. Conocer y utilizar las propiedades de los determinantes.



2. Calcular determinantes según distintos métodos.



3. Obtener el rango de una matriz mediante el uso de menores.



4. Calcular la inversa de una matriz regular como traspuesta de la adjunta entre el determinante.



5. Reconocer la utilidad de los determinantes en la resolución de sistemas lineales, especialmente en sistemas con parámetros, y en variados problemas de geometría analítica.

      

ORIENTACIONES

1. Se presenta la definición de determinante en órdenes 2 y 3  (motivada por aparecer en la solución de ciertos sistemas lineales) y se generaliza a orden n. Seguidamente, esta definición se identifica con el desarrollo por una línea. Será esta versión la que se use habitualmente en este nivel.
2. En las propiedades del determinante se destacan aquellas que muestran la transformación que sufre el determinante por operaciones elementales. Éstas se usan para simplificar el cálculo del determinante mediante procesos de escalonamiento.
3. Por último, el determinante se presenta como una útil herramienta que permite saber si una matriz tiene inversa y calcularla, calcular el rango de una matriz, determinar cuántas y cuáles son las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, resolver problemas geométricos de incidencia, de áreas de polígonos y volúmenes de paralelepípedos, etc

RELACIÓN ENTRE NIVELES Y CON OTROS MÓDULOS

La noción de matriz inversible y su cálculo se introduce en el nivel 1, donde se indica un primer método de obtención de la inversa. Pero se retoma en los niveles 2 y 3, donde se va relacionando con conceptos nuevos (determinante, independencia lineal). Lo mismo puede decirse de la noción de rango. En el nivel 1, sólo se justifican propiedades elementales. Quedan sin demostrar en este nivel algunos resultados importantes (por ejemplo, que todas las matrices escalonadas asociadas a una misma matriz tienen el mismo número de filas no nulas -resultado fundamental para la definición de rango dada en este nivel-; o la coincidencia de la inversa a derecha e izquierda de una matriz regular). En el nivel 2 se enuncian propiedades generales que son demostradas para matrices de tamaño particular. En el nivel 3 se pueden encontrar las demostraciones formales de cualquiera de los resultados incluidos en el mismo, algunos de los cuales han sido presentados o utilizados en niveles anteriores. Obviamente, este módulo está estrechamente relacionado con el módulo de Sistemas Lineales.

ESCENAS INTERACTIVAS

Se han desarrollado aplicaciones Javascript interactivas que permiten:

• Operar con dos matrices y comprobar el resultado.
• Calcular términos concretos de la inversa de una matriz de orden 2.
• Manipular filas y columnas de una matriz para su reducción gaussiana, permitiendo también su reducción directa, escalonamiento, cálculo de la inversa, etc.
• Efectuar operaciones para escalonar una matriz y registrar su efecto sobre el determinante. Obtener el valor final del mismo.

PRE/POST EVALUACIÓN

Existe una preevaluación, tipo examen WebCT, que el estudiante puede realizar antes de iniciar el estudio de cada nivel y que le indica si tiene superados los conocimientos del mismo. De esta forma, el alumno obtiene información sobre el nivel en el que le conviene colocarse para estudiar el módulo. Asimismo, una vez estudiado cada nivel, el estudiante puede cumplimentar una post-evaluación. Su calificación, que se obtiene de forma instantánea, le informa sobre su conocimiento de ese nivel, de modo que puede continuar pasando al nivel/tema siguiente o, por el contrario, es conveniente que repita de nuevo su estudio.