Sucesiones equivalentes


Dos sucesiones,   ( a n )  y  ( b n ) , son asintóticamente equivalentes o simplemente equivalentes si el cociente entre sus términos generales tiende a uno. Se escribe habitualmente:   a n <> b n


Por ejemplo, las sucesiones: a n =log⁡( 1+ 1 n )  ,   b n = 1 n son equivalentes. En efecto, lim⁡ n→∞ log⁡( 1+ 1 n ) 1 n = lim⁡ n→∞ nlog⁡( 1+ 1 n )= lim⁡ n→∞ log⁡[ ( 1+ 1 n ) n ]=log⁡e=1 .

Con el  puedes comprobar que a partir del término n = 9, las sucesiones   ( a n )  y  ( b n ) se superponen.

 

Principio de sustitución: El límite de una sucesión convergente no se altera al sustituir uno de sus factores o divisores por otro equivalente.

 

Ejemplo: Aplicando el principio de sustitución es fácil obtener el siguiente límite

lim⁡ n→∞ n 3 log( 1+ 1 n ) = principio de sustitución lim⁡ n→∞ ( n 3 ⋅ 1 n )= lim⁡ n→∞ n 2 =∞

 

Observación: El principio de sustitución tiene especial interés cuando a la hora de calcular un límite se nos presenta una indeterminación. Sustituyendo un factor o un divisor por otra sucesión equivalente es posible que podamos resolver la indeterminación.

Como la mayoría de las indeterminaciones se producen con sucesiones que tienden a cero o que tienden a infinito, puede resultar interesante resumir en un cuadro las equivalencias entre infinitésimos y entre infinitos de uso más habitual:

Tabla de sucesiones equivalentes

  ( ε n )  → 0  { sen ( ε n ) <> ε n <>tg ( ε n ) arc sen ( ε n ) <> ε n <>arc tg ( ε n ) 1−cos ⁡ ( ε n ) <> ( ε n ) 2 2 log⁡( 1+ ε n )<> ε n e ε n <> 1+ ε n ( 1+ ε n ) λ <>λ⋅ ε n


( a n )→1 { log  ( a n )<> a n −1 a n n −1<> 1 n ⋅log ( a n )

Demostración

n→∞          {       a 0 ⋅ n p + a 1 ⋅ n p−1 +...+ a p <> a 0 ⋅ n p      log   ϕ( n ) = log⁡     ( a 0 ⋅ n p + a 1 ⋅ n p−1 +...+ a p )<>log⁡      n p           ( a 0 >0)       n!<> e −n ⋅ n n ⋅ 2πn n n <>1 ;  a n <>1 ,  ∀a>0

  ϕ( n )   es una función racional de grado   p≠0 , positiva para valores suficientemente grandes de n