Comparación de infinitos

Llamaremos infinito a toda sucesión que diverja a infinito. Es decir, que se cumpla:

lim⁡ n→∞   a n =∞    ò bien    lim⁡ n→∞   a n =-∞

Analicemos ahora la velocidad de divergencia de distintos infinitos.

Es fácil ver que un infinito   ( a n )   tendrá un orden de infinitud mayor (resp. menor) que otro infinito   ( b n )   si   ( 1 a n )   es un infinitésimo de orden superior (resp. inferior) a   ( 1 b n ) .

  • Por ejemplo, las sucesiones a n =3⋅ n 2    ,         c n =3⋅ n 1/4     ,            d n =3⋅5    n      

tienen todas límite infinito. Sin embargo la primera crece más deprisa que la segunda, pero más despacio que la tercera.

  • Para que se vea más claro el comportamiento, a las más lentas les introducimos un coeficiente "multiplicador" y a las más rápidas un coeficiente amortiguador.

Así, definimos tres ejemplos nuevos de sucesiones: j n = 1 10 ⋅ n 2    ,         p n =20⋅ n 1/4     ,            q n = 1 300 ⋅5    n    

Utiliza este    para observar el comportamiento de las sucesiones anteriores. Verás que, a partir de un cierto valor de n, todos los términos de la sucesión   ( j n )   están por encima de los términos de la sucesión   ( p n ) . También se mantiene la propiedad con los puntos de la sucesión   ( q n ) , que están por encima de los de   ( j n ) . Observación


 En la tabla se recogen todos los tipos de infinitos, ordenados de mayor a menor orden, según se leen de izquierda a derecha:


 potencial- exponencial  y  factorial

exponencial

potencial

 logarítmica
  n a n        n!     ( a≥1 ) n!     n a n  ( 0<a<1 )   k n    ( k>1 )   n a    ( a>0 )   ( log  n ) p    ( p>0 )



A la hora de resolver límites de cocientes de infinitos de distinto orden tendremos en cuenta los siguientes criterios prácticos.