Dada una función f(x) definida en un intervalo, una primitiva de f es una nueva función F definida en el mismo intervalo, cuya derivada sea precisamente la función f primera. Así pues, calcular primitivas viene a ser la operación inversa de la derivada.
Por ejemplo, si f(x)=x2+1 una primitiva de f(x) puede ser la función F(x)=x33+x+4
Y si g(x)=2xcos(x2) una primitiva de g(x) puede ser la función G(x)=sen(x2)−1
Se suele escribir ∫f(x)dx para representar una primitiva cuaquiera de f . Es decir, cuando en un problema pone
"Calcular ∫sen(x)dx"
lo que nos están pidiendo es hallar una función cualquiera F(x) que verifique F'(x)=sen(x).
La primitiva de una función se llama también integral indefinida.
¿Por qué es importante poder calcular primitivas?
El cálculo de primitivas tiene dos aplicaciones principales: la solución de ecuaciones diferenciales y el cálculo de áreas y volúmenes.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función y en la que se trata de obtener las funciones que verifican las relaciones establecidas por la ecuación.
Por ejemplo, la ecuación
tiene como solución cualquier primitiva de
F'(x)=4x2+1
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacEcacaGGOaGaamiEaiaacMcacqGH9aqpcaaI0aGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaaigdaaaa@3F0B@.
En general, para resolver ecuaciones diferenciales, se requieren otros métodos además del cálculo de primitivas.
Como consecuencia del Teorema Fundamental del Cálculo se puede calcular el área bajo la gráfica de una función positiva usando una de sus primitivas.
