Potencias de exponente fraccionario

Veamos cómo hacerlo empezando con un ejemplo: imagina que quieres calcular las raíces sextas de -1.

Tienes que determinar los números z tales que z 6 =−1 . Si r es el módulo de z y ϕ su argumento utilizando la representación de los números complejos en forma trigonométrica se tendrá que cumplir la igualdad:

[ r( cos⁡ϕ+isenϕ ) ] 6 =1( cos⁡∏+isen∏ )

Utilizando la fórmula de Moivre para calcular las potencias de un número complejo

r 6 ( cos⁡6ϕ+isen6ϕ )=1( cos⁡∏+isen∏ )

Igualando los módulos y los argumentos

r 6 =1 6ϕ=∏+2k∏ , k∈ℤ

Por lo tanto todos los números complejos de módulo r= 1 6 =1 y argumento:

ϕ= ∏+2k∏ 6 , k∈ℤ

son raíces sextas de -1.

Mediante la fórmula de Moivre podemos calcular las potencias de base un número complejo y de exponente un número entero. Veamos ahora cómo calcular las potencias con exponente un número fraccionario. Si m/n es un número fraccionario, observamos que

w m/n = ( w m ) 1/n

El valor de w m se puede obtener por la fórmula de Moivre.

El problema se reduce a calcular entonces las raíces n-ésimas de un número complejo: z 1/n = z n .

Veamos cómo hacerlo empezando con un ejemplo: imagina que quieres calcular las raíces sextas de -1.

Tienes que determinar los números z tales que z 6 =−1 . Si r es el módulo de z y ϕ su argumento utilizando la representación de los números complejos en forma trigonométrica se tendrá que cumplir la igualdad:

[ r( cos⁡ϕ+isenϕ ) ] 6 =1( cos⁡∏+isen∏ )

Utilizando la fórmula de Moivre para calcular las potencias de un número complejo

r 6 ( cos⁡6ϕ+isen6ϕ )=1( cos⁡∏+isen∏ )

Igualando los módulos y los argumentos

r 6 =1 6ϕ=∏+2k∏ , k∈ℤ

Por lo tanto todos los números complejos de módulo r= 1 6 =1 y argumento:

ϕ= ∏+2k∏ 6 , k∈ℤ

son raíces sextas de -1.

¿Hay infinitas raíces sextas de la unidad? No, sólo hay 6. Pincha aquí para ver la explicación.

¿Cómo se pueden representar? Son los vértices de un hexágono regular. Pincha aquí para ver la explicación.