Criterios de convergencia de series de términos positivos

Criterios de convergencia de series de términos positivos

Determinar la convergencia o divergencia de una serie analizando el carácter de la sucesión de sumas parciales resulta imposible para muchas series. Por este motivo veremos seguidamente criterios de convergencia de series de términos positivos en los que el estudio se realiza a partir del término general de la serie.

Criterio de comparación. Si ∑ n=1 ∞ a n y ∑ n=1 ∞ b n son dos series de términos positivos verificando a n ≤ b n ∀n∈ℕ salvo un número finito, entonces a) Si ∑ n=1 ∞ b n es convergente, entonces ∑ n=1 ∞ a n también es convergente. b) Si ∑ n=1 ∞ a n es divergente, entonces ∑ n=1 ∞ b n también es divergente.
Demostración

Criterio de comparación por paso al límite.

Se consideran las series ∑ n=1 ∞ a n y ∑ n=1 ∞ b n . Entonces

          a)  Si Si lim⁡ n→∞ a n b n =λ≠{ 0 ∞ ambas series tienen el mismo carácter.
          b)  Si lim⁡ n→∞ a n b n =0 y la serie ∑ n=1 ∞ b n es convergente, entonces ∑ n=1 ∞ a n es convergente.
          c)  Si lim⁡ n→∞ a n b n =∞ y la serie ∑ n=1 ∞ b n es divergente, entonces ∑ n=1 ∞ a n es divergente.

Demostración

Observación.- Este criterio en el caso particular de que se compare con la serie armónica generalizada recibe el nombre de criterio de Prinsheim.