Series de términos positivos


Se dice que la serie  ∑ n=1 ∞    a n   es de términos positivos si  a n ≥0          ∀n∈ℕ .
 

Ejemplo: La serie  ∑ n=1 ∞     5 n   es de términos positivos ya que   a n = 5 n >0  para todo número n natural.

La serie de términos positivos  ∑ n=1 ∞    a n  no puede ser oscilante, es decir o bien es convergente o bien es divergente a  +∞

Este resultado es fácil de ver si se observa que la sucesión de las sumas parciales de una serie de términos positivos es monótona creciente.

S n+1 = S n + a n+1 ⏟ no   negativo ≥ S n

 

Acotando la suma parcial enésima (Criterio integral): Se considera una serie   ∑ n=1 ∞ a n  de términos positivos y una función f(x) de manera que:   f( n )= a n entonces

  • si f es decreciente y positiva en   [ 1,∞ )  la sucesión   ∑ k=1 n f( k )  verifica: ∫ 1 n f( x ) dx< ∑ k=1 n f( k ) <f( 1 )+ ∫ 1 n f( x )dx es decir, ∫ 1 n f( x ) dx< a 1 + a 2 +...+ a n <f( 1 )+ ∫ 1 n f( x )dx

    • Gráficamente puedes ver una justificación de:

    la cota superior

    y de la cota inferior

    Si existe    lim⁡ n→∞ ∫ 1 n f( x ) dx ⇔ criterio de  comparación para  sucesiones existe    lim⁡ n→∞ S n ⇔ ∑ n=1 ∞ a n   converge

: Estudio del carácter de la serie armónica generalizada,  ∑ n=1 ∞ 1 n p  p>0, con el criterio integral

: Estudio de la convergencia de la serie geométrica   ∑ n=1 ∞ r n  con  0<r<1  con el criterio integral.

           

Acotando la suma parcial enésima: Se considera una serie   ∑ n=1 ∞ a n  de términos positivos y una función f(x) de manera que:   f( n )= a n siendo f es creciente y positiva en   [ 1,∞ )  ¿Podrías encontrar una cota inferior y superior de la suma parcial enésima de la serie? Pulsa para ver la respuesta.