Propiedades de las series

Enunciamos algunas de las propiedades más importantes de las series:
 

Propiedad 1: Si a una serie se le suprime o añade un número finito de términos, su carácter no se ve alterado. 

Ejemplo: 4+π− 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 ...+ 1 2 n +...

Se tiene: 4+π− 1 2 + 1 2 2 1− 1 2 =4+π

Propiedad 2: Operaciones simples con series: Si las series   ∑ n=1 ∞    a n   y   ∑ n=1 ∞    b n   son convergentes y convergen respectivamente a los números reales A y B, entonces:

  *  ∑ n=1 ∞  ( a n ± b n ) = ∑ n=1 ∞  ( a n )±    ∑ n=1 ∞  ( b n ) =A±B

  *  ( ∑ n=1 ∞ a n )⋅( ∑ n=1 ∞ b n )=A⋅B     

  *  ∑ n=1 ∞ ( λ⋅ a n ) =λ⋅( ∑ n=1 ∞ a n )=λ⋅A

Ejemplo: Calcular  ∑ n=1 ∞ 2 n + 7 n 9 n

Se tiene: ∑ n=1 ∞ 2 n + 7 n 9 n = ∑ n=1 ∞ 2 n 9 n + ∑ n=1 ∞ 7 n 9 n = 2 9 1− 2 9 + 7 9 1− 7 9 = 2 7 + 7 2 = 53 14

Ejemplo: Calcular  ∑ n=1 ∞ 3 ( −1 ) n 2 n

Se tiene: ∑ n=1 ∞ 3 ( −1 ) n 2 n =3 ∑ n=1 ∞ ( − 1 2 ) n =3⋅ − 1 2 1+ 1 2 =−1

  • Observar que  ∑ n=1 ∞ ( a n ⋅ b n ) ≠( ∑ n=1 ∞ a n )⋅( ∑ n=1 ∞ b n )

    Esta propiedad ni siquiera es cierta para sumas finitas:   ( a+b )( c+d )≠ac+bd