Dependiendo del carácter de la sucesión de sumas parciales, Sn, se definirá el carácter de la seriea1+a2+a3+...+an+...=∑n=1∞an .
Así, se dirá que una serie es convergente, divergente u oscilante si la sucesión de sus sumas parciales {Sn}n=1∞
es convergente, divergente u oscilante, respectivamente.
Si limn→∞Sn=S∈ℜ
, la serie ∑n=1∞an es convergente.
Al número S se le llama suma de la serie y se denota ∑n=1∞an=S<∞
.
Si la sucesión {Sn}n=1∞
es divergente se dice que la serie ∑n=1∞an es divergente. En este caso, tendremos limn→∞Sn=±∞ y la serie se denota ∑n=1∞an=±∞
.
Si el límite limn→∞Sn
es oscilante, diremos que la
serie ∑n=1∞an también es oscilante.
Ejemplos:
La serie geométrica, ∑n=0∞arn, converge si la razón, r, cumple: |r|<1.
La serie armónica, ∑n=1∞1n
, es divergente.
La serie armónica generalizada, ∑n=1∞1np, diverge para 0<p≤1
y convergente
para p>1.
y
sobre el carácter de series geométricas y armónicas generalizadas enésima
y
sobre el carácter de series, utilizando la suma parcial enésima