Test de autoevaluación: Series de potencias

Responde a  las siguientes cuestiones para comprobar el grado de conocimiento sobre los desarrollos en serie de potencias de funciones.  Al final puedes comprobar si tus respuestas son acertadas o no, y obtener explicaciones sobre las respuestas correctas. 

1. Obtener el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:

      a)  ∑ n=0 ∞ n!⋅ x n       b)  ∑ n=1 ∞ x n n 2       c)  ∑ n=0 ∞ ( −1 ) n ⋅ ( x+1 ) n 2 n       d)  ∑ n=1 ∞ x n n n

   a) R=0;  b) R=1;  c) R=  ∞ ;  d) R=1

   a) R=  ∞ ;  b) R=2;  c) R=1;  d) R=  ∞

   a) R=  ∞ ;  b) R=1;  c) R=1/2;  d) R=0, la serie sólo converge para x=0

   a) R=0, la serie sólo converge para x=0;  b) R=1;  c) R=2;  d) R=  ∞

 

2.   Elegir cuál de las siguientes respuestas es verdadera, entre las propuestas seguidamente. El desarrollo en serie de potencias de la función  f( x )= 1 3x−1  es:

     − ∑ n=0 ∞ 3 n ⋅ x n           ∀x∈( − 1 3 , 1 3 )

     − ∑ n=0 ∞ 1 3 n ⋅ x n           ∀x∈[ −1,1 ] .

     − ∑ n=0 ∞ 3 n ⋅ x n           ∀x∈( − 1 3 , 1 3 ]

     − ∑ n=0 ∞ 1 3 n ⋅ x n           ∀x∈( −1,1 )

3. Encontrar el radio e intervalo de convergencia de la serie  ∑ n=0 ∞ ( −3 ) n ⋅ x n n+1

  La serie converge ∀x∈[ −1,1 ]

  La serie converge ∀x∈( − 1 2 , 1 2 ]

  La serie converge ∀x∈( − 1 3 , 1 3 ] .

  La serie converge ∀x∈ℜ

4. Obtener el radio e intervalo de convergencia de la serie  ∑ n=0 ∞ n⋅ ( x+2 ) n 3 n+1

  R=2, la serie converge ∀x∈( −4,0 ) .

  R=1, la serie converge ∀x∈[ −3,−1 ] .

  R=  ∞ , la serie converge ∀x∈ℜ .

  R=3, la serie converge ∀x∈( −5,1 ) .

5.  Obtener la serie de Taylor de la función f(x) = L(x), centrada en el punto a = 1. Hallar el campo de convergencia de la serie.

  L( x )= ∑ n=1 ∞ ( x−1 ) n n  ,     ∀x∈( 0,2 )

  L( x )= ∑ n=1 ∞ ( −1 ) n−1 ( x−1 ) n n  ,     ∀x∈( 0,2 ]  

  L( x )= ∑ n=1 ∞ ( −1 ) n−1 ( x−1 ) n n 2  ,     ∀x∈[ 0,2 ]

  L( x )= ∑ n=1 ∞ ( −1 ) n ( x−1 ) n 2n  ,     ∀x∈[ −1,3 ]

6. Hallar la serie de MacLaurin de la función   f( x )= 1 1+ x 2 , basándote en las propiedades de las series geométricas.

  1 1+ x 2 = ∑ n=0 ∞ ( −1 ) 2n x 2n  ,     ∀x∈( −1,1 )

  1 1+ x 2 = ∑ n=0 ∞ x 2n  ,     ∀x∈( −1,1 )

  1 1+ x 2 = ∑ n=0 ∞ ( −1 ) n x 2n  ,     ∀x∈( −1,1 )

  1 1+ x 2 = ∑ n=0 ∞ ( −1 ) 2n x 2n  ,     ∀x∈[ −1,1 ]

7.  Obtener el desarrollo en serie de potencias de la función  f( x )= 2+x 1+2x+ x 2 , por simple división de los polinomios.

  ∑ n=0 ∞ ( −1 ) n ( n+2 ) x n  ,       ∀x∈( −1,1 )

  ∑ n=0 ∞ ( −1 ) n ( n+1 ) x n  ,       ∀x∈( −1,1 )

  ∑ n=0 ∞ ( n+2 ) x n  ,       ∀x∈( −1,1 )

  ∑ n=0 ∞ ( −1 ) n−1 ( n+2 ) x n  ,       ∀x∈( −1,1 )

8. Hallar el desarrollo en serie de potencias de la función  f( x )= 2x+3 ( 1−x )⋅( 2−x ) , como resultado de sumar dos series geométricas.

  ∑ n=1 ∞ ( x 5 ) n −7⋅ ∑ n=1 ∞ ( 2x ) n ,     ∀x∈( − 1 2 , 1 2 )

  ∑ n=1 ∞ ( 3x ) n −7⋅ ∑ n=1 ∞ ( x 2 ) n ,     ∀x∈( − 1 3 , 1 3 )

  5⋅ ∑ n=0 ∞ x n − 7 2 ⋅ ∑ n=0 ∞ ( x 2 ) n ,     ∀x∈( −1,1 )

  ∑ n=0 ∞ ( 5x ) n −7⋅ ∑ n=0 ∞ ( x 2 ) n ,     ∀x∈( − 1 5 , 1 5 )

9.  Obtener el desarrollo en serie de potencias de la función  f( x )= 1 ( 1+x ) 2   y hallar el campo de convergencia de la serie.

  ∑ n=0 ∞ ( −1 ) n ( n+1 ) ⋅ x n   ,       ∀x∈[ −1,1 ]

  ∑ n=0 ∞ ( −1 ) n ( n+1 ) ⋅ x n   ,       ∀x∈( −1,1 )

  ∑ n=1 ∞ ( −1 ) n n ⋅ x n   ,       ∀x∈( −1,1 )

  ∑ n=1 ∞ ( −1 ) n+1 n ⋅ x n   ,       ∀x∈[ −1,1 ]

10. Desarrollar en serie de MacLaurin la función   f( x )=L[ ( 1+x )⋅( 2+x ) ] , utilizando la tabla de desarrollos en serie. Determinar el campo de convergencia de la serie resultante.

L( 2 )+ ∑ n=1 ∞ ( −1 ) n [ 2 n + 1 2 ]⋅ x n ,   ∀x∈( −1,1 )

  L( 2 )+ ∑ n=1 ∞ ( −1 ) n−1 [ 2+ 1 2 n ]⋅ x n ,   ∀x∈( −1,1 )

∑ n=1 ∞ ( −1 ) n [ 2 n + 1 2 ]⋅ x n−1 ,   ∀x∈( −1,1 ]

  L( 2 )+ ∑ n=1 ∞ ( −1 ) n−1 n [ 2+ 1 2 n ]⋅ x n ,   ∀x∈( −1,1 ]

11.  Integrar la serie geométrica   ∑ n=0 ∞ x n , que converge a la función suma   f( x )= 1 1−x     ,     ∀x∈( −1,1 ) , y estudiar el campo de convergencia de la serie de MacLaurin resultante.

  −L( 1−x ) = ∑ n=0 ∞   x n n+1    ,     ∀x∈[ −1,1 )

  L( 1−x ) = ∑ n=0 ∞   x n n+1    ,     ∀x∈[ −1,1 )

  −L( 1−x ) = ∑ n=0 ∞   x n+1 n+1    ,     ∀x∈( −1,1 )

  L( 1−x ) = ∑ n=0 ∞   x n n+1    ,     ∀x∈( −1,1 )

12. Utilizando los primeros términos de desarrollos en serie de potencias, calcular el límite de la expresión siguiente  L( 1+x )+ e x 2 /2 −( 1+x ) x 3 , para  x→0 .

 el límite vale 1/3

 el límite vale 0

 el límite vale ∞

 el límite vale 1/8

Puntuación =

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Respuestas correctas: