Sería deseable disponer de una expresión para el resto enésimo que
permitiera estimar fácilmente su magnitud. Tal expresión existe y,
además, no es única.
Sea f es una función derivable (n+1) veces en un intervalo abierto I,
que contenga al punto x=a. Si
R
n
[
f(
x
);a
]
es el resto n-ésimo de Taylor
correspondiente a la función f en el punto x=a entonces:
(1) Resto de Cauchy
R
n
[
f(
x
);a
]=
f
(n+1
(
t
)
n!
(
x−t
)
n
(
x−a
)
siendo t un punto intermedio entre a y x.
(2) Resto de Lagrange
R
n
[
f(
x
);a
]=
f
(n+1
(
t
)
(
n+1
)!
(
x−a
)
n+1
siendo t un punto intermedio entre a y x.
(3) Resto Integral
R
n
[
f(
x
);a
]=
∫
a
x
f
(n+1
(
t
)
n !
(
x−t
)
n
dt
definido si la derivada (n+1) de f es integrable en el
intervalo I
Observación: Los restos de Cauchy y de Lagrange son casos particulares del
resto de Schlömilch
R
n
[
f(
x
);a
]=
f
(n+1
(
t
)
p⋅n!
(
x−t
)
n+1−p
(
x−a
)
p
p≥1
siendo t un punto intermedio entre a y x
|
Ejemplos: Consideramos la función
f(
x
)=
e
x
. Escribimos
e
x
=1+x+
x
2
2!
+
x
3
3!
+...+
x
n
n!
+
R
n
[
e
x
;0
]
y los restos de Cauchy, de Lagrange y el resto Integral:
-
Resto de Cauchy:
R
n
[
e
x
;0
]=
e
t
n!
(
x−t
)
n
x
-
Resto de Lagrange:
R
n
[
e
x
;0
]=
e
t
(
n+1
)!
x
n+1
-
Resto Integral:
R
n
[
e
x
;0
]=
∫
0
x
e
t
n!
(
x−t
)
n
dt
Observación: La fórmula de Taylor con el resto de Lagrange constituye una generalización del teorema de los incrementos finitos.
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