Suma aproximada y estimación del error para series
alternadas
Ejemplo:
Se considera la siguiente serie alternada:
1−12+122−123+....
¿Cual es el valor de n que asegura que al sustituir el valor exacto
de la serie por la suma parcial enésima el error cometido en la
aproximación es menor que un valor máximo permitido (por ejemplo 0.24).
Se considera la siguiente serie alternada cuya suma es
conocida (es una serie geométrica de razón -1/2):
23=1−12+122−123+...=∑n=1∞(−1)n−12n−1
En este ejemplo se conoce el valor exacto de la suma y se
puede comprobar entonces que tomando S2
como S se aseguraría que el error cometido en la aproximación es más pequeño
que 0.24 (en este ejemplo el máximo permitido).
Normalmente no se conoce el valor exacto de la suma y, en
consecuencia, tampoco el valor exacto del resto enésimo por lo
que se tiene en cuenta la acotación:
|error|=|Rn|<an+1
Así, por ejemplo, se tendrá que
|error|<0.24sian+1<0.24
Como esta última desigualdad se cumple para n=3 bastará
considerar S≅S3 para asegurar que se comete un error menor que 0.24 en la
aproximación.
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