Si
∑
n=1
∞
(−1)
n−1
⋅
a
n
es una serie alternada y convergente, siendo la sucesión
{
a
n
}
n=1
∞
monótona decreciente, se verifica
|
R
n
|<
a
n+1
, es decir que el error cometido en la aproximación Rn, es, en valor absoluto, menor que el primer término despreciado.
|
Para demostrar este resultado basta tener en cuenta
que:
S−
S
n
=
R
n
=
(
−1
)
n
(
a
n+1
−
a
n+2
+
a
n+3
−
a
n+4
+...
)
Tomando valores absolutos:
|
R
n
|=|
a
n+1
−
a
n+2
+
a
n+3
−
a
n+4
+
a
n+5
−...
|=
=|
a
n+1
−
(
a
n+2
−
a
n+3
)
︸
positivo
−
(
a
n+4
−
a
n+5
)
︸
positivo
−...
|<
a
n+1
|