Suma aproximada y estimación del error para series alternadas

Planteamos ahora para las series alternadas convergentes los dos problemas analizados anteriormente para series de términos positivos:

Problema 1: ¿Qué error se comete al aproximar el valor de la suma de una serie convergente por la suma parcial k-ésima?

Problema 2: ¿Cuál debe ser el valor de k de forma que la suma parcial k-ésima aproxime al valor de la suma de la serie con un error prefijado?

El siguiente resultado permite contestar a ambas cuestiones:

Si   ∑ n=1 ∞     (−1) n−1 ⋅ a n   es una serie alternada y convergente, siendo la sucesión  {    a n } n=1 ∞   monótona decreciente, se verifica   | R n |< a n+1 , es decir que el error cometido en la aproximación Rn, es, en valor absoluto, menor que el primer término despreciado.

Pulsa para ver la demostración.

Ejemplo: Se considera la siguiente serie alternada:

1− 1 2 + 1 2 2 − 1 2 3 +....

¿Cual es el valor de n que asegura que al sustituir el valor exacto de la serie por la suma parcial enésima el error cometido en la aproximación es menor que un valor máximo permitido (por ejemplo 0.24). Pulsa para ver la respuesta.

Problema 1: Estimación del error

Problema 2: Obtención del número de términos para asegurar un error prefijado