Una serie se dice alternada si tiene sus términos alternativamente positivos y negativos.
Su expresión general es de la forma
∑n=1∞(−1)n−1⋅an
o
∑n=1∞(−1)n⋅an
con an > 0
Ejemplo: La serie geométrica ∑n=1∞(−12)n
es una serie alternada.
Convergencia de series alternadas. Criterio de Leibniz.
Si
∑n=1∞(−1)n−1⋅an
es una serie alternada que verifica:
a)
limn→∞an=0
b) la sucesión
{an}n=1∞
es monótona decreciente, es decir que
an+1≤an∀n∈ℕ
.
entonces la serie
∑n=1∞(−1)n−1⋅an
es convergente.
Demostración
Observar que si la serie alternada verifica la propiedad b) (la sucesión
{an}n=1∞
es monótona decreciente), es condición necesaria y suficiente para la convergencia de la serie alternada que se cumpla también la propiedad a),
limn→∞an=0
.