Series de términos positivos: suma aproximada

Para la mayor parte de las series, no es posible (o al menos no es nada sencillo) obtener su suma, aunque se sepa que son convergentes. En tal caso, siempre podemos obtener una aproximación de dicha suma S por el valor de la suma parcial k-ésima:

S≈ S k = ∑ n=1 k a n = a 1 + a 2 +...+ a k

El error que se comete en esta aproximación es el valor de: R k = ∑ n=k+1 ∞ a n = a k+1 + a k+2 + a k+3 . Esta expresión recibe el nombre de resto k-ésimo o resto de orden k.

Se nos plantean dos problemas a resolver:

Problema 1: ¿Qué error se comete al aproximar el valor de la suma de una serie convergente por la suma parcial k-ésima?

Problema 2: ¿Cuál debe ser el valor de k de forma que la suma parcial k-ésima aproxime al valor de la suma de la serie con un error prefijado?

Vamos a tratar de resolver los dos problemas en el caso particular de que consideramos una serie ∑ n=1 ∞ a n convergente cumpliendo que la función f( x ) , siendo f( n )= a n , verifica que es decreciente y positiva en ( 1,∞ ) .

Para la mayor parte de las series, no es posible (o al menos no es nada sencillo) obtener su suma, aunque se sepa que son convergentes. En tal caso, siempre podemos obtener una aproximación de dicha suma S por el valor de la suma parcial k-ésima:

S≈ S k = ∑ n=1 k a n = a 1 + a 2 +...+ a k

El error que se comete en esta aproximación es el valor de: R k = ∑ n=k+1 ∞ a n = a k+1 + a k+2 + a k+3 . Esta expresión recibe el nombre de resto k-ésimo o resto de orden k.

Se nos plantean dos problemas a resolver:

Problema 1: ¿Qué error se comete al aproximar el valor de la suma de una serie convergente por la suma parcial k-ésima?

Problema 2: ¿Cuál debe ser el valor de k de forma que la suma parcial k-ésima aproxime al valor de la suma de la serie con un error prefijado?

Vamos a tratar de resolver los dos problemas en el caso particular de que consideramos una serie ∑ n=1 ∞ a n convergente cumpliendo que la función f( x ) , siendo f( n )= a n , verifica que es decreciente y positiva en ( 1,∞ ) .

Problema 1: Estimación del error

Problema 2: Obtención del número de términos para asegurar un error prefijado