Series de términos positivos: criterios de convergencia

 

Criterio de D´Alembert, del cociente o de la razón.

Se considera la serie de términos positivos   ∑ n=1 ∞    a n    cumpliendo  lim n→∞ a n+1 a n =L , entonces verifica: 


          a)  Si L < 1 la serie   ∑ n=1 ∞    a n   es convergente.


          b)  Si L > 1 la serie   ∑ n=1 ∞    a n   es divergente.


          c)  Si L = 1  CASO DUDOSO. En esta situación sólo se puede asegurar que la serie diverge si existe N0 tal que

a n+1 a n >1          ∀n> N 0

Demostración

      

 

Criterio de Raabe.

Sirve para discutir los casos dudosos del criterio del cociente. Se considera la serie de términos positivos   ∑ n=1 ∞    a n    cumpliendo  lim n→∞ a n+1 a n =1 . Supongamos que existe lim n→∞ n⋅( 1− a n+1 a n )=L , entonces verifica: 


          a)  Si L > 1 la serie   ∑ n=1 ∞    a n   es convergente.


          b)  Si L < 1 la serie   ∑ n=1 ∞    a n   es divergente.


          c)  Si L = 1  CASO DUDOSO. En este caso sólo se puede asegurar que la serie diverge si existe N0 tal que

n⋅( 1− a n+1 a n )<1          ∀n> N 0

Demostración

      

 

Criterio de la raíz o de Cauchy.

Se considera la serie de términos positivos   ∑ n=1 ∞    a n   cumpliendo lim n→∞    a n n =L , entonces verifica: 


          a)  Si L < 1 la serie   ∑ n=1 ∞    a n   es convergente.


          b)  Si L > 1 la serie   ∑ n=1 ∞    a n   es divergente.


          c)  Si L = 1  CASO DUDOSO. En este caso sólo podemos decir que la serie diverge si     a n n >1   para infinitos términos an.

Demostración