Demostración del teorema de Weierstrass
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Teorema de Weierstrass (teorema de las sucesiones monótonas y acotadas):
Toda sucesión monótona y acotada es convergente; siendo su límite el extremo
superior si la sucesión es creciente y el extremo inferior si es
decreciente.
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En esta demostración, vamos a distinguir dos casos posibles, según la sucesión sea monótona creciente o monótona decreciente.
Toda sucesión monótona creciente, acotada superiormente, es convergente y su límite es menor o igual que cualquier cota superior.
En efecto, si la sucesión tiene infinitos términos iguales, el valor común de estos términos es el límite de la sucesión pues, prescindiendo de los primeros términos, la sucesión es una constante. Si la sucesión tiene infinitos términos distintos, el conjunto formado con ellos admite un límite superior o supremo, L, que es menor que cualquier cota superior; además, resulta inminente que si el elemento
a
n
0
pertenece al semientorno
(
L−ε,L
)
, todos los términos que siguen al
a
n
0
pertenecen también a ese semientorno, lo cual prueba que la sucesión dada es convergente y que su límite es L.
En el segundo caso, demostramos que toda sucesión monótona decreciente, acotada inferiormente, es convergente y su límite es mayor o igual que cualquier cota inferior.
Suponiendo que la sucesión tenga infinitos términos distintos, el conjunto formado con dichos términos admite un límite inferior (ínfimo), L, que es mayor que cualquier cota inferior. Además, si el elemento
a
n
0
pertenece al semientorno
(
L,L+ε
)
, todos los términos posteriores al
a
n
0
en la sucesión pertenecerán también a ese semientorno, quedando demostrado que la sucesión dada es convergente y que su límite es L.