Sucesiones monótonas

El camarero de un bar comienza a servir copas de vino de una botella que acaba de abrir para atender a un grupo de clientes a los cuales no aprecia demasiado. Para más detalle, comienza a llenar la copa a los que mejor le caen y termina con los que le caen peor. Sirve la primera copa, después rellena la botella con agua, sirve la segunda copa y vuelve a rellenar la botella con agua, y así sucesivamente.

La capacidad de la copa es la décima parte de la capacidad de la botella. No cabe duda que algo de vino va echando en cada copa, luego la sucesión formada por los valores del volumen de vino que le queda en la botella después de servir cada copa es una sucesión cuyos términos van haciéndose siempre más pequeños.

¿Cuántas copas servirá antes de que en la botella quede la mitad del vino de partida? Respuesta

 

Una sucesión   (   a n )  se denomina monótona creciente si verifica:

a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤…≤ a n ≤…  

esto es si se cumple

 
a n ≤ a n+1  ∀n∈ℕ
 

Si verifica   a n < a n+1  ∀n∈ℕ , se llama estrictamente creciente.

Análogamente, una sucesión   (   a n )   se denomina monótona decreciente si se cumple

 
a n ≥ a n+1  ∀n∈ℕ

 

Si verifica   a n > a n+1  ∀n∈ℕ , se llama estrictamente decreciente.

Una sucesión se denomina monótona si es monótona creciente o monótona decreciente.

Otros ejemplos,

  La sucesión de término general   a n =n  es monótona creciente y también estrictamente creciente.

La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es estrictamente creciente

  La sucesión de término general   a n =− n 2  es monótona decreciente y es también estrictamente decreciente.

La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.

La sucesión   a n = (−1) n n  de término general tampoco es monótona.

  La sucesión   1 2 ,  1 2 ,  1 3 ,  1 4 ,  1 4 ,  1 5 ,  1 6 ,  1 6 ,  1 7 , …  es monótona decreciente, sin embargo no es estrictamente decreciente.


Nota práctica: En algunos casos, para determinar si una sucesión es

  • monótona creciente resulta útil probar que   a n+1 − a n ≥0 ∀n∈ℕ  , o en el caso de que la sucesión sea de términos positivos demostrar que se cumple:   a n+1 a n ≥1 ∀n∈ℕ

  • Análogamente, para las sucesiones monótonas decrecientes se probará que   a n+1 − a n ≤0 ∀n∈ℕ , o bien, si es de términos positivos, que verifica  a n+1 a n ≤1 ∀n∈ℕ

    

Puedes ayudarte en la resolución de los ejemplos y ejercicios con el siguiente