Si llamamos
a
n
al término general de la sucesión de Fibonacci, podemos defirla de forma recurrente de la siguiente
manera:
a
1
=1
a
2
=1
a
n
=
a
n−1
+
a
n−2
para n≥3
Esta sucesión tiene muchas propiedades curiosas:
-
La suma de los n primeros términos es:
a
1
+
a
2
+...+
a
n
=
a
n+2
−1
-
La suma de los términos impares es:
a
1
+
a
3
+...+
a
2n−1
=
a
2n
-
La suma de los términos pares es:
a
2
+
a
4
+...+
a
2n
=
a
2n+1
−1
-
La suma de los cuadrados de los n primeros términos es:
a
1
2
+
a
2
2
+...+
a
n
2
=
a
n
a
n+1
-
Si n es divisible por m entonces
a
n
es divisible por
a
m
-
Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre si
-
La propiedad más curiosa de esta sucesión es que el cociente de dos
números consecutivos se aproxima todo lo que se quiera a la
razón
áurea, es decir, a medida que n crece indefinidamente el cociente: an+1/an
se va aproximando cuanto se desee
al número
1+
5
2
(que se conoce con el nombre de número de oro).
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