La regla de Cramer no se distingue precisamente por su amenidad. Además
su aplicación entraña riesgo de errores
por la cantidad de operaciones a realizar, pero su estudio es imprescindible por
razones como las siguientes.
|
La regla de Cramer aprovecha las propiedades de las matrices y sus determinantes
para despejar, separadamente, una cualquiera de las incógnitas de
un sistema lineal.
¿Sabrías expresar el valor de z (a la derecha)
en términos similares a lo expresado para x e y?
|
S:{
x
−
3y
+
5z
=
−24
2x
−
y
+
4z
=
−8
x
+
y
=
9
↓
x=
|
−24
−3
5
−8
−1
4
9
1
0
|
|
1
−3
5
2
−1
4
1
1
0
|
, y=
|
1
−24
5
2
−8
4
1
9
0
|
|
1
−3
5
2
−1
4
1
1
0
|
, z=????
|
El cálculo de la inversa de una matriz cuadrada, en el caso de existir,
se puede reducir a la resolución de una serie de sistemas lineales. Por tanto, mediante la regla
de Cramer, los términos de la inversa de una matriz cuadrada se expresan de forma
sencilla en función de los términos de la matriz inicial, de gran utilidad para
ciertas cuestiones de carácter teórico.
|
A=(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
) y
A
−1
=(
a
11
*
a
12
*
a
13
*
a
21
*
a
22
*
a
23
*
a
31
*
a
32
*
a
33
*
)
→
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)(
a
11
*
a
12
*
a
13
*
a
21
*
a
22
*
a
23
*
a
31
*
a
32
*
a
33
*
) = (
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@C2D6@
Determinar cada columna precisa resolver
un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
→
a
11
*
=
|
1
a
12
a
13
0
a
22
a
23
0
a
32
a
33
|
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
,⋯ ⋯ ⋯
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@C47A@
|
En la práctica, el riesgo de error que puede conllevar la aplicación de
la regla de Cramer está anulado. Cualquier ordenador y calculadora actuales
hallan el determinante de una matriz 25x25 o resuelven un sistema de 18
ecuaciones lineales con 18 incógnitas en milésimas de segundo.
Esta enorme ventaja
no excluye el estudio de este método y de todo el bagaje teórico que él arrastra.
¿Cuánto tarda tu calculadora en resolver el sistema lineal
con la matriz ampliada derecha? ¿Crees que alguien de los que han elaborado los programas
que tu calculadora incorpora conocería el método de Gauss y la regla de Cramer?
|
(
1
2
−1
2
1
−3
4
−2
1
0.3
1
0.5
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
1
2
3
4
4
5
13
2
−4
−5
−6
−7
1
2
3
4
4
2
3
4
12
12
13
14
−1
0
2
2
2
2
−1
2
0
0
0
0
−1
−1
−2
−2
−0.2
−4
2
2
3
3
0
0
0
0
0
0
4
2
3
1
3
5
6
8
9
0
0
1
2
3
5
6
−2
−9
−0.4
2
6
−8
0
0
|
1
−1
3
1
2
0
0
5
−0.5
4
)
|
Se constata que para el
seguimiento de este módulo es necesario el conocimiento del concepto de
determinante de una matriz y de los términos relacionados: menor, adjunto, ...
Si precisa de su estudio puede ir al
módulo del Nivel II de matrices
|