Es posible resolver ecuaciones de grados tres y cuatro mediante radicales, pero no las de grado superior

Se ha visto que las soluciones de una ecuación de segundo grado son expresiones radicales de sus coeficientes, hecho conocido desde la Antigüedad. Sin embargo, las ecuaciones de grado tres no pudieron ser resueltas hasta el siglo XVI. Scipio del Ferro, Tartaglia y Cardano son nombres ligados a dicha resolución.
Poco después de la resolución de la ecuación cúbica, Ferrari resolvió la ecuación general de cuarto grado.

Tartaglia

Los métodos de resolución para las ecuaciones de grado tres y cuatro gozan de características comunes: 1. En ambos casos se construyen ecuaciones auxiliares de un grado menor que el de la ecuación de partida (de 2 para las de 3, de 3 para las de 4). En el proceso intermedio, el problema de una incógnita se transforma en uno con dos incógnitas. 2. Se establece, usando radicales, una solución particular de la ecuación auxiliar correspondiente. 3. La solución de la ecuación auxiliar permite determinar, mediante el uso de radicales, una solución de la ecuación inicial. En el proceso, como es obvio, hay que tener en cuenta las relaciones establecidas y utilizadas en el paso 1.

Cardano

A continuación, se dan los resultados más importantes de cada proceso sin entrar en detalles. Para esto se puede acudir a textos clásicos como La matemática: su contenido, métodos y significado en Alianza Universidad o descargarse el documento .pdf que se halla en fórmulas (documento realizado por personal docente de la Universidad de Sevilla siguiendo el texto Introducción al Álgebra de Xambó, Delgado y Fuertes. Ed. Complutense, Madrid, 1993).

GRADO TRES:

x 3 +a x 2 +bx+c=0   → x=y−a/3   y 3 +py+q=0
Una raíz de y 3 +py+q=0   es u 3 + v 3  donde u, v  son las soluciones de z 2 +qz− p 3 27 =0 (ecuación auxiliar) Una raíz de la ecuación inicial es por tanto

x= - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 - a 3
(recordemos que p, q  están en función de a, b, c )

GRADO CUATRO:

x 4 +a x 3 +b x 2 +cx+d=0   → x=y−  a 4   y 4 +p x 2 +qx+r=0 ⎴ (*)
donde p,q,r  son expresiones que dependen de a,b,c,d .

Si u 0   es una raíz de      8 u 3 +8p u 2 +(2p   2 −8r)u−q   2 =0 ,   (*) se puede escribir como

( y   2 + p 2 + u 0 ) 2 −2 u 0 ( y− q 4 u 0 ) 2
cuyas raíces son, como es fácil deducir, los cuatro valores siguientes

+ u 0 2 ± − u 0 2 − p 2 + q 2 2 u 0  ,  − u 0 2 ± − u 0 2 − p 2 − q 2 2 u 0
Los raíces de la ecuación en x   son ...

Alrededor de 1770, el matemático francés Lagrange observó que las soluciones a ecuaciones de segundo, tercer y cuarto dadas hasta entonces se basaban siempre en propiedades que no se verificaban para las ecuaciones de grado superior. Desde Scipio de Ferro hasta ese momento, nadie había dudado de la posibilidad de resolver tales ecuaciones por el método de radicales.

Lagrange desarrolla nuevos métodos para la resolución de ecuaciones de grado ≤4  a partir de una idea general en la que intervenían las teorías de polinomios simétricos, de permutaciones y de resolventes, y aunque no es capaz de dar una solución completa de las ecuaciones de grado cinco, no tiene suficientes argumentos para hablar de la imposibilidad de resolver por radicales tales ecuaciones.

Es el matemático noruego Abel quien en 1824 da una demostración de que, en general, no existe ninguna expresión radical en función de los coeficientes de una ecuación que sea raíz de la misma si su grado es ≥5 .

A partir de aquí, el matemático francés Galois tuvo mucho que decir. Los conceptos que él introdujo en lo que hoy se conoce como Teoría de Galois, han sido de gran importancia en toda la matemática.

Abel