Se consideran las matrices

M=( a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 a 32 0 | b 1 b 2 b 3 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@5475@         y        M₁ = ( a 12 a 13 b 1 a 22 a 23 b 2 a 32 0 b 3 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaadaqadaqaauaabeqadmaaaeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIYaaabeaaaOqaaiaadggadaWgaaWcbaGaaGymaiaaiodaaeqaaaGcbaGaamOyamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOqaaiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaikdaaeqaaaGcbaGaamyyamaaBaaaleaacaaIYaGaaG4maaqabaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaGOmaaqabaaakeaacaaIWaaabaGaamOyamaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaaaakiaawIcacaGLPaaaaaa@4CF4@ ,

donde M representa la matriz ampliada de un sistema lineal. Indicar cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas.

1.      Si - a_{11 ·} a_{23 ·} a₃₂ ≠ MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacqGHGjsUaaa@39F1@ 0, entonces el sistema es compatible determinado.

2.      Si a₂₃ = 0 y det(M₁) ≠ MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacqGHGjsUaaa@39F1@ 0, entonces el sistema es compatible indeterminado.

3.      Si a₂₃ = 0 y det(M₁) = 0, entonces el sistema es compatible.

4.      Si a₂₃ = 0 y det(M₁) ≠ MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacqGHGjsUaaa@39F1@ 0, entonces el sistema es incompatible.

 

Dada una matriz A, denotamos por adj(A) la matriz adjunta de A. Considerando la matriz

A=( 1 2 3 4 −1 2 3 4 0 4 0 8 0 −2 −3 0 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaqGbbGaeyypa0ZaaeWaaeaafaqaceabeaaaaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaabaGaaG4maaqaaiaaisdaaeaacqGHsislcaaIXaaabaGaaGOmaaqaaiaaiodaaeaacaaI0aaabaGaaGimaaqaaiaaisdaaeaacaaIWaaabaGaaGioaaqaaiaaicdaaeaacqGHsislcaaIYaaabaGaeyOeI0IaaG4maaqaaiaaicdaaaaacaGLOaGaayzkaaaaaa@4A2A@

Decir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

 

1. El término (3,2) de adj(A) es -24.
2. det(A) = -96.
3. Si a₁₁ es el término del lugar (1,1) de adj(A), entonces det(A) = 2·a₁₁.
4. A · adj(A) = det(A).

 

Se consideran las matrices siguientes.

 

A   =   ( 4 1 4 1 0 9 4 3 2 9 9 3 9 7 1 7 )  B   =   ( 4 1 4 4141 0 9 4 943 2 9 9 2993 9 7 1 9717 )  C   =   ( 4 1 4 101 0 9 4 23 2 9 9 73 9 7 1 237 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@826B@

apoyándose en las propiedades de los determinantes, indicar cuáles de las frases enunciadas a continuación son ciertas.

 

1. det(A) = det(B)
2. det(B) = 41 · det(C)
3. det(A) < det(B)
4. det(B) = det(C)

Se consideran las matrices

A=( 0 −1 −2 −3 1 0 −1 −2 2 1 0 −1 3 2 1 0 ) B=( 0 −1 −2 −3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) C=( 0 −1 −2 −3 1 0 1 1 2 −1 0 1 3 −1 −1 0 ) D=( 0 −1 −2 −3 1 0 1 1 0 −1 −2 −1 0 −1 −4 −3 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@8FAF@

De las siguientes frases, elegir las que sean verdaderas. (En ellas A^t y C^t representan, como es habitual, las traspuestas de las matrices correspondientes).

 

1. Los determinantes de A y B son distintos.
2. D se puede obtener a partir de C por operaciones elementales en sus filas.
3. Como A = - A^t , entonces det(A) = - det(A^t).
4. det(A) = 0.
5. Los determinantes de C y D son distintos.
6. Como C + C^t es la matriz nula y det(C) = det(C^t), entonces det(C) = 0.
7. B se puede obtener a partir de A por operaciones elementales en sus filas.
8. det(C) = 4.

Sean A, B y C matrices 4x4. La matriz B se ha obtenido de permutar las dos primeras filas de A, y C se ha obtenido de sumar a la cuarta columna de B sus tres primeras columnas.

Señalar cuáles de las afirmaciones siguientes son ciertas.

 

1. Si det(A) = det(B), entonces det(A) = 0.
2. Si det(A) = 3, entonces det(B) = 1/3.
3. det(A) = - det(C).
4. det(C) = - det(B)

Se considera la matriz

A=( 1 a−2 4 2 a−1 5 3 a 6 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaqGbbGaeyypa0ZaaeWaaeaafaqabeWadaaabaGaaGymaaqaaiaadggacqGHsislcaaIYaaabaGaaGinaaqaaiaaikdaaeaacaWGHbGaeyOeI0IaaGymaaqaaiaaiwdaaeaacaaIZaaabaGaamyyaaqaaiaaiAdaaaaacaGLOaGaayzkaaaaaa@4608@

De las afirmaciones siguientes determinar las que son verdaderas.

 

1. rango(A) < 3, cualquiera que sea el valor de a.
2. Si a = 3, entonces rango(A) = 1.
3. rango(A) = 2, cualquiera que sea el valor de a.
4. Si a = 0, entonces det(A) ≠ MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacqGHGjsUaaa@39F1@  0.

La matriz ampliada del sistema

S:{ 2x + 3y + 4z = 1 4x + 8z = 1 −2x − 3y = −1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaqGtbGaaiOoamaaceaabaqbaeGabmWbaaaabaGaaGOmaiaadIhaaeaacqGHRaWkaeaacaaIZaGaamyEaaqaaiabgUcaRaqaaiaaisdacaWG6baabaGaeyypa0dabaGaaGymaaqaaiaaisdacaWG4baabaaabaaabaGaey4kaScabaGaaGioaiaadQhaaeaacqGH9aqpaeaacaaIXaaabaGaeyOeI0IaaGOmaiaadIhaaeaacqGHsislaeaacaaIZaGaamyEaaqaaaqaaaqaaiabg2da9aqaaiabgkHiTiaaigdaaaaacaGL7baaaaa@51D1@

la representamos por (A|b).

Indicar qué afirmaciones de las siguientes son verdaderas.

 

1. S es un sistema incompatible .
2. S es compatible determinado y la solución es ( det⁡( A 1 ) det⁡(A) ,    det⁡( A 2 ) det⁡(A) ,    det⁡( A 3 ) det⁡(A) ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8aspq0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaadaqadaqaamaalaaabaGaciizaiaacwgacaGG0bGaaiikaiaadgeadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGGPaaabaGaciizaiaacwgacaGG0bGaaiikaiaadgeacaGGPaaaaiaacYcacaaMe8+aaSaaaeaaciGGKbGaaiyzaiaacshacaGGOaGaamyqamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaacMcaaeaaciGGKbGaaiyzaiaacshacaGGOaGaamyqaiaacMcaaaGaaiilaiaaysW7daWcaaqaaiGacsgacaGGLbGaaiiDaiaacIcacaWGbbWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaOGaaiykaaqaaiGacsgacaGGLbGaaiiDaiaacIcacaWGbbGaaiykaaaaaiaawIcacaGLPaaaaaa@5EAF@ , (A_i es la matriz que resulta de sustituir en A la columna i-ésima por la columna (b), de términos independientes).
3. S es compatible determinado y la solución es (1/4, 1/6, 0).
4. Para este sistema no se puede aplicar la regla de Cramer.

Calcula el determinante de las siguientes matrices

 

1.−( 1 2 3 3 0 2 3 3 0 0 3 3 0 0 0 3 );2.−( 1 2 2 4 );3.−( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 );4.−( 0 0 3 4 5 6 7 8 0 )