El procedimiento Jordan
El procedimiento Jordan


Dada una matriz A de orden < 5 , cuyo polinomio característico sea producto de factores lineales, podemos aplicar el siguiente procedimiento para encontrar una matriz P regular tal que P-1AP es su forma de Jordan.

Entrada: Una matriz A de orden n < 5

Salida: Matrices P regular y J diagonal por bloques de Jordan tal que P-1AP = J

    • Calcular los índices de los valores propios de A. Sea k el mayor.
    • Si k = 1 aplicar el procedimiento de diagonalización .
    • Si k = n construir la correspondiente cadena de Jordan y con ella la matriz P colocando las columnas de derecha a izquierda

      P = (Tn-1,...,T1,T0)     J = Jn(t)      

    • Si k = n-1 construir la correspondiente cadena de Jordan (T0,T1,...,Tn-2). Buscar un vector propio S libre con Tn-2

      P = (Tn-2,...,T1,T0,S)     J = diag[Jn-1(t), s]      

      donde s es el valor propio asociado a S (pudiendo ser s = t).
    • Necesariamente n = 4 y k = 2. Construir una cadena de Jordan correspondiente a t (T1, T0).
    • Si det(xI-A) = (x-t)2(x-s)(x-r)construir vectores propios S y R asociados a s y r.

      P = (T1, T0, S, R)     J = diag[J2(t), s, r]      

    • Si det(xI-A) = (x-t)2(x-s)2

      • Si la multiplicidad geométrica de s es 2, añadir dos vectores propios libres S1, S2

        P = (T1, T0, S1, S2)     J = diag[J2(t), s, s]      

      • Construir una cadena de Jordan (S1, S0) correspondiente a s

        P = (T1, T0, S1, S0)     J = diag[J2(t), J2(s)]      

    • Si det(xI-A) = (x-t)3(x-s) añadir vectores propios T (libre con el de la cadena) y S asociados a t y s.

      P = (T1, T0, T, S)     J = diag[J2(t), t, s]      

    • Si det(xI-A) = (x-t)4

      • Si la multiplicidad geométrica de t es 3, añadir dos vectores propios libres T3 y T4 con T1

        P = (T1, T0, T3, T4)     J = diag[J2(t), t, t]      

      • Elegir dos columnas libres T1, S1 en (A-tI) y calcular soluciones T0, S0 de (A-tI)X = T1 y (A-tI)X = S1

        P = (T1, T0, S1, S0)     J = diag[J2(t), J2(t)]      

La corrección del algoritmo es consecuencia directa de la demostración dada al teorema de Jordan .

El último paso no debe sustituirse por

...Elegir dos vectores propios libres T0, S0 en ker(A-tI)2 y calcular

T1 = (A-tI)T0, S1 = (A-tI)S0

Los vectores obtenidos T1, S1 pueden resultar ligados como lo muestra el siguiente

Practica el método con los siguientes

     y