Puesto que buscamos una matriz P regular que diagonalice A,
sus columnas no pueden ser cero.
Por tanto, buscamos valores dj y soluciones no nulas
Pj del sistema
(dj I - A) X = (0)
De acuerdo con el teorema de
Rouché-Frobenius, la matriz (dj I - A) no puede ser regular;
por lo que su determinante debe ser cero.
En resumen, para que d sea un posible término diagonal,
det (d I - A) = 0
Ello da lugar a los siguientes conceptos
Se dice valor propio de una matriz A a cualquier valor d que cumpla
det (d I - A) = 0
Se dice vector propio, asociado al valor propio d, de una matriz A
a cualquier solución no nula del sistema
(d I - A) X = (0)
Algunos autores prefieren utilizar, respectivamente, los vocablos autovalor y autovector.
Nótese que se excluye al vector cero como vector propio; ello es debido
a que buscaremos una base del
subespacio solución del sistema (d I - A) X = (0); claro está, el vector cero, aunque solución de cualquier sistema homogéneo, no puede pertenecer a ninguna base.
Como es natural, la búsqueda de valores propios es previa a la de vectores propios.
Al efecto,
1. Construimos la denominada matriz característica (xI -A)
2. Calculamos su determinante.
Obtenemos un polinomio,
que recibe el nombre de polinomio característico de A
3. Calculamos sus raíces
Notemos que si no hay valores propios, es decir,
si el polinomio característico no tiene raíces -lo que depende
estrechamente de si trabajamos en los racionales, reales, complejos,...- la matriz no puede ser diagonalizable.
Una vez calculados los posibles valores propios, podemos calcular los vectores propios.