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La importante relación anterior A = P D P-1
equivale a P-1 A P = D y da lugar a nuestro primer concepto
| Una matriz A se dice diagonalizable
si existe una matriz P regular tal que
P-1 A P es una matriz diagonal D.
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Las ventanas anteriores nos han mostrado que este concepto tiene mucho interés
y que no es trivial, en el sentido de que hay matrices diagonalizables y hay matrices que no lo son.
Como se ha mostrado en el ejemplo, podemos enunciar
| Dadas dos matrices A y B
A = P B P-1 ==> An = P Bn P-1
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En efecto,
A2 = (P B P-1)2 = (P B P-1)
(P B P-1) = P B (P-1 P) B P-1 =
P B 2 P-1
A3 = (P B P-1)3 = (P B P-1)
(P B P-1) (P B P-1) = P B (P-1 P) B (P-1 P) B P-1 =
P B 3 P-1
Inductivamente,
An = An-1 A = (P B n-1 P-1)
(P B P-1) = P Bn-1 (P-1 P) B P-1 =
P (B n-1 B) P-1 = P B n P-1
Esto nos lleva al siguiente concepto
| Dos matrices A y B se dicen semejantes
si existe una matriz P regular tal que
A = P B P-1
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Notemos que A y B deben ser ambas cuadradas del mismo
orden. Asimismo, es fácil ver que se trata de una relación de equivalencia.
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