Supongamos que una matriz simétrica A posee factorización LU sin permutación de filas. Entonces,

LU = A = A^t = U^tL^t

LU = U^tL^t

Puesto que L es triangular con unos en la diagonal, es regular. Por tanto, "despejando"

U = L^-1U^tL^t Asimismo, su traspuesta L^t es regular; luego, "pasándola al primer miembro"

U(L^t)^-1 = L^-1U^t

Puesto que U(L^t)^-1 es triangular superior y L^-1U^t lo es inferior, se trata de una matriz diagonal D; por tanto,

U(L^t)^-1 = D => U = DL^t

Sustituyendo en A = LU

A = LDLt

Si los pivotes son positivos, D = E² con E diagonal.

Luego

D = E² = EE^t => A = LDL^t = L(EE^t)L^t = (LE)(E^tL^t) y, escribiendo C = LE

A = CCt

Es la denominada, factorización de Cholesky.

Nótese que, una vez encontrada la factorización LU de A, el proceso descrito es constructivo:

D = U(Lt)-1

Con todo, en la próxima pantalla propondremos un algoritmo más cómodo. Si sólo estás interesado en aspectos computacionales, puedes saltar directamente.

Obsérvese que la matriz del primer ejemplo tiene factorización LDL^t, pero no factorización de Cholesky; no ocurre así, como ya se ha visto, con la matriz del segundo ejemplo.

En relación a la existencia y unicidad de factorización de Cholesky puedes observar los resultados que se exponen, pulsando en la ventana .