A continuación exponemos algunos ejemplos de familias libres y ligadas.

• La familia ((3,2),(1,0),(0,1)) es ligada pues

  -1(3,2) + 3(1,0) + 2(0,1) = (0,0)

• La familia ((1,2),(3,4)) es libre pues

  a(1,2) + b(3,4) = (0,0) ==> a = 0 y b = 0

• Toda familia que tenga el vector (0 , ... , 0) es ligada pues

  0(a , ... , b) + ... + 1(0 , ... , 0) + ... + 0(c , ... , d) = (0 , ... , 0)

  Es decir, basta afectar al vector (0 , ... , 0) del coeficiente 1, y a los demás vectores del coefieciente cero para obtener el vector (0 , ... , 0) con coeficientes no nulos.

• Toda familia con vectores repetidos es ligada pues

  1(a , ... , b) + ... + 0(c , ... , d) + ... + -1(a , ... , b) = (0 , ... , 0)

  Es decir, basta afectar a dichos vectores del coeficiente 1 y -1, y a los demás vectores del coefieciente cero para obtener el vector (0 , ... , 0) con coeficientes no nulos.

• Un vector no nulo constituye una familia libre. Por ejemplo,

  t(0,2,0,3) = 0 ==> t.2 = 0 ==> t = 0

  En general, si (a , ... , b) es distinto de (0 , ... , 0)

  t(a , ... , b) = (0 , ... , 0) ==> ta = ... = tb = 0

  Puesto que alguna componente es no nula, t debe ser 0.

• Acabamos de comentar que las filas de una matriz regular son libres. Puesto que la traspuesta de una matriz regular lo es, lo mismo se debe predicar de las columnas.