Hemos comentado varias veces que una matriz regular A no puede tener líneas cero, pues al multiplicar A por cualquier otra B, dará una matriz AB con líneas cero, y no será nunca la matriz identidad.

Como consecuencia,

• Una matriz regular, no puede tener líneas proporcionales, pues mediante operaciones elementales tipo 2 obtendríamos una matriz regular con líneas cero.

  Puedes comprobarlo con el laboratorio de

• En general, en una matriz regular, no puede haber una igualdad del tipo
  A_j = t₁ A₁ + ... + t_j-1 A_j-1 + t_j+1 A_j+1 + ... + t_n A_n
  entre sus filas o columnas, pues, nuevamente mediante operaciones elementales tipo 2, podríamos obtener una matriz regular con la línea j cero .

  Es éste el fundamento del proceso de obtención de ceros en las líneas de una matriz.

• Finalmente, la relación entre las filas A₁ , ... , A_n de una matriz
  t₁ A₁ + ... + t_n A_n = (0, ... ,0)
  da
  (t₁,...,t_n) A= (0, ... ,0)
  Y si A es regular,
  (t₁,...,t_n) = (t₁,...,t_n) AA^-1 = (0, ... ,0) A^-1=(0, ... ,0)

Considerando las líneas de una matriz como vectores, ello da lugar a la siguiente definición

Una familia (v1 , ... , vn) de vectores se dice     i) libre si    t1 v1 + ... + tn vn = (0, ... ,0) ==> t1 = ... = tn = 0     ii) ligada, en caso contrario.

Algunos autores denominan linealmente independientes a las familias libres y linealmente dependientes a las ligadas. Elegimos los nombres más simples, por razones de tipo fonético.

Debe el lector comprender bien el concepto anterior, y no confundirlo con el siguiente clásico:

ERROR La familia ((1,2),(4,8)) es libre pues 0 (1,2) + 0 (4,8) = (0,0)

En la página siguiente puedes analizar unos cuantos ejemplos.