Supongamos que A es una matriz de orden n y existe B tal que BA = I; vamos a comprobar que también AB = I.

Veamos, en primer lugar, que B también es regular. Notemos que las condiciones del producto de matrices obligan a que B debe ser cuadrada, de orden n.

Sea r el rango de B; si r < n, escalonando, existe P regular tal que PB posee la última fila cero. Así,

(PB)A = P(BA) = PI = P posee la última fila cero, lo que es imposible en una matriz regular P. Por tanto, el rango de B es n -su orden- y B es regular.

En estas condiciones, B posee inversa; sea ésta C; así CB = I.

Veamos finalmente que C = A.

Al efecto,

C = CI = C(BA) = (CB)A = IA = A

Hemos obtenido que,

Si A es cuadrada y AB = I, entonces BA = I

Puedes realizar algunos ejemplos de comprobación mediante los laboratorios de

    y    

Con el primero generas una matriz y calculas su inversa. Con el segundo laboratorio las multiplicas a ambos lados.