Estamos preparados para probar que dos matrices escalonadas obtenidas de la misma matriz A tienen el mismo rango.

Sean E y F dos matrices escalonadas, obtenidas mediante operaciones elementales (en las filas) de la misma matriz A.

Hemos visto que si r es el rango de E y s es el de F, entonces, existen matrices P, Q, M y N regulares tales que

PAQ = [Ir,0] MAN = [Is,0]

Operando, existen U y V regulares tales que

U[Ir,0] = [Is,0]V

Ahora bien, esto obliga a ser r = s

Demostración

Como ya se había anunciado, dicho número se llama rango de la matriz A.

Una vez obtenido el primer resultado clave de este nivel, nos merecemos un buen descanso.

Si ya estás preparado, sigue razonando; sea r el rango de una matriz A y s el de su traspuesta A^t.

Entonces, como antes,

PAQ = [Ir,0] MAtN = [Is,0] => NtAMt = [Is,0]t => RAS = [Is,0]

Y otra vez el mismo razonamiento da r = s por lo que

rango A = r = s = rango At

Como consecuencias inmediatas, podemos enunciar,

Hacer operaciones elementales en las líneas de una matriz no altera su rango Demostración

Por tanto, a efectos de cálculo del rango,

Si una matriz tiene una línea cero, puede suprimirse

En efecto, mediante operaciones elementales puede colocarse al final y no cuenta en el rango de la escalonada.

Si una matriz posee una línea que es múltiplo de otra, puede suprimirse

En efecto, mediante una operación elemental, se obtiene una matriz con dicha línea cero.

Estas propiedades tienen un eminente interés práctico: para calcular el rango de una matriz podemos transformarla, mediante operaciones elementales en sus filas y/o en sus columnas, en otra matriz más sencilla, cuyo rango se pueda leer a simple vista.

Practica estas propiedades en los siguientes