Discutir, según los valores de a, el rango de la matriz
racional:
Solución: Se exponen varias maneras diferentes de actuar, con una valoración
sobre cada una de ellas, pero es el lector quien debe elegir.
Primera solución: El intento de hacer ceros en la primera columna llevaría a multiplicar la
primera fila por -a/(a+2), pero para a = -2 este no es un número. ¿Qué
hacer? Podemos subdividir en dos problemas:
- Sustituir a=-2 y calcular el rango de
- Suponer a ¹ -2 y hacer ceros en la primera columna
Esta manera de proceder es correcta, pero quizá demasiado larga, y sobre todo
superflua ya que si el lector hace bien los cálculos deberá concluir que
por lo que la discusión a=-2, a ¹ -2 es aparente y accidental.
Segunda solución: Puestos a dar valores, un lector con buena visión, quizá prefiera observar la
última columna y realizar los dos sub-problemas siguientes:
- Sustituir a=1 y calcular el rango de
que
dará 2.
- Suponer a ¹ 1 y multiplicar la tercera columna por (a-1)-1
obteniendo
Cambiando las columnas obtenemos la matriz
Podemos hacer ya ceros en la primera columna
Cambiando las filas 2 y 3
Sumando a la tercera fila la segunda multiplicada1 por (a-2)
Por tanto,
|
2 £ rang(A) £ 3 y rang(A)=2Ûa=0 |
|
que
junto con el sub-problema anterior da, lógicamente, la misma conclusión
Tercera solución: No es estrictamente necesario subdividir el problema en varios dando
a priori valores a los parámetros.
En este tipo de problemas debe ponerse cuidado en no hacer una
aparente operación elemental tipo 3 que involucre un parámetro, pues para ciertos valores del
parámetro ello equivaldría a multiplicar - o peor aún dividir- esa línea por
cero, lo que no es una operación elemental y disminuye en una unidad el rango.
En consecuencia, siempre que podamos, evitaremos las operaciones elementales
tipo 3 que involucren parámetros.
Permutamos las columnas 1, 2 y luego la (nueva) 2 y la 3 obteniendo una matriz
más manejable
Procedemos a hacer ceros en la primera columna, mediante operaciones
elementales tipo 2; se obtiene una matriz del tipo
Sumando a la segunda fila la tercera,
y mediante sencillas operaciones elementales se llega a
Esta matriz tiene, como mínimo, rango 2 y el rango será 2 para los valores de
a que anulen a la vez a la tercera fila de la matriz. Es decir, a = 0, 1.
La conclusión es siempre la misma:
Cuarta solución: Tratar el parámetro a como una indeterminada y aprovechar que en Q[a]
existe la división euclídea2 .
Sumando a la primera fila la tercera
Podemos hacer ceros en la primera columna obteniendo
Finalmente hacemos ceros en la segunda columna
Como en la solución anterior se trata de averiguar los ceros comunes de los
polinomios no nulos en la última fila, lo que viene dado por su máximo común
divisor: a(a-1). Por tanto, una vez más:
Esta solución es universal para matrices con un parámetro, e implementable en
un sistema de Algebra Computacional, pero puede requerir mayores conocimientos
algebraicos en el lector.
Notas:
1 lo que siempre es
una operación elemental, incluso para a=2
2 para calcular la denominada forma de
Hermite de una matriz