Demostraciones: Producto de matrices triangulares

Proposición: El producto de matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior; además sus términos diagonales son los productos de los términos diagonales de ambas.

Demostración:  

Mimetizando la demostración para matrices triangulares superiores, sean A=(a_ir) y B=(b_sj) matrices triangulares inferiores y sea C=AB.

Si i < r, a_ir=0, luego

cij=ai1b1j+¼aiibij+ +aii+1bi+1j+¼+ ainbnj=ai1b1j+¼aiibij

Ahora, si s < j, b_sj=0 y

ì í î i < j  Þ   cij=ai1b1j+¼aiibij=0 i=j  Þ   cii=ai1b1i+¼aiibii=aiibii

Otra demostración más concisa y elegante puede ser: B^tA^t=(AB)^t es triangular superior, luego AB es triangular inferior.

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