Demostraciones

La multiplicidad algebraica de un valor propio es mayor o igual que la geométrica. Por tanto, ambas coinciden en el caso de valores propios simples.

Demostración

• Veamos, en primer lugar que la multiplicidad geométrica de un valor propio no puede superar la algebraica.

  En efecto, sea A una matriz de orden n y d un valor propio de multiplicidad geométrica r.

  Sea (P¹, ... ,P^r) una base del subespacio solución del sistema (dI-A) X = (0); sea Q la matriz de columnas (P¹, ... ,P^r, e₁, ... , e_n)

  Suprimamos correlativamente las columnas e_j que sean combinación lineal de sus precedentes en Q. Puesto que el rango de Q es n, obtenemos una matriz P del mismo rango n, y con todas sus columnas libres. Es decir, P es cuadrada de orden y rango n; por tanto, P es regular.

  Ahora, las r primeras columnas de P son las de Q, es decir, vectores propios asociados al valor propio d.

  Por tanto, AP = (dP¹,dP², ... ,dP^r,...) y, multiplicando por bloques , P^-1AP = ( de₁,de₂, ... ,de_r,...) = B.

  B=( d   0 ... 0  0 * ... * 0   d ... 0  0 * ... * ............................ 0 ..........0  d * ... * ............................ 0  .........0  0 * ... * ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@A3C3@

  Y su polinomio característico es

  det⁡( x−d   0 ... 0    0     * ... * 0   x−d ... 0    0     * ... * .......................................... 0 ...............0  x−d * ... * .......................................... 0  ..............0     0    * ... * ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@CB88@

  Entonces,

  det(xI-A) = det(xI-B) =(x-d)^rg(x)
  Finalmente, la multiplicidad algebraica del valor propio d es, al menos, r.

• La segunda afirmación es consecuencia de que si d es un valor propio, det(dI-A) = 0, por lo que el sistema (dI-A)X = (0) posee al menos una solución no nula.

  Es decir, la multiplicidad geométrica es, al menos 1.

  Ahora, nuestro resultado dice que si la multiplicidad algebraica de d es 1, su multiplicidad geométrica es, a lo sumo, 1 y ambas multiplicidades valen 1.

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