Demostración: Si A es regular y posee factorización LU,
ésta es única
Si A es regular y A = LU, U es regular.
Supongamos
que existen dos factorizaciones distintas de A:
L
1
U
1
= A =
L
2
U
2
⇒
L
2
−1
.
L
1
=
U
2
.
U
1
−1
Puesto que la inversa de una matriz triangular es triangular,
y el producto de dos de esas matrices es también triangular del mismo tipo
L
2
−1
.
L
1
es triangular inferior y
U
2
.
U
1
−1
es triangular superior
El producto
L
2
−1
.
L
1
=
U
2
.
U
1
−1
es entonces una matriz diagonal; además su diagonal es de unos, por lo que
L
2
−1
.
L
1
=
U
2
.
U
1
−1
= I ⇒
L
1
=
L
2
y
U
1
=
U
2
y entonces
L
1
= L
2
y
U
1
= U
2
-
Por lo tanto L y U son únicas para cada matriz A no singular.