Demostraciones

Teorema: Sea A una matriz simétrica real. Entonces, son equivalentes,

1. A = CC^t
2. Los menores angulares de A son positivos.

Una matriz en estas condiciones se dice semidefinida positiva.

Demostración:  

1  Þ  2: Por ser A simétrica, existe P regular tal que

PAPt=diag  [1,¼,1,-1,¼,-1,0,¼,0]

Así,

A = CCt Þ   (PC)(PC)t=diag [1,¼,1,-1,¼,-1,0,¼,0]

pero (PC)_i((PC)^t)ⁱ) es una suma de cuadrados, luego nunca -1. En consecuencia,

PAPt=diag [1,¼,1,0,¼,0] Þ  A=Qdiag [1,¼,1,0,¼,0]Qt

Ahora cada bloque angular A_r de A es de la forma Q_rdiag [1,¼,1,0,¼,0]Q_r^t donde Q_r es el bloque de Q formado por las mismas líneas que el de A. Basta tomar determinantes, para obtener detA_r=det(Q_r)²e, donde e = 1, 0.

2  Þ  1: Como antes, existe P regular tal que PAP^t=[I_s,0]; luego

A=Q[Is,0]Qt

tómese como C la submatriz formada por las s primeras filas de Q.

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