Reglas útiles para calcular determinantes
Reglas útiles para calcular determinantes

Si una matriz tiene una línea en la que abundan los ceros el cálculo de su determinante, desarrollando por esa línea, es más cómodo. Por ello a partir de una matriz dada trataremos de obtener otra, haciendo ceros en una línea, que tenga el mismo determinante. Usaremos las propiedades de los determinantes.


Regla de Chio

Dada una matriz cuadrada A:

  • tomamos en una de sus líneas un coeficiente distinto de cero, al que llamamos pivote,

  • usamos el pivote para hacer ceros en los demás elementos de su columna de modo que se mantenga el determinante (también podríamos hacer ceros en su fila).

Así reducimos el cálculo de un determinante de orden n al cálculo de uno de orden n-1. Podemos repetir el proceso hasta obtener un determinante en el que haya que realizar pocas cuentas.

EJEMPLO

Calculemos el determinante de A= ( 1 2 7 −1 3 1 4 5 7 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaGacmGadaWaaiqacaabauaagaaakeaadaqadaqaauaabiqadmaaaeaacaqGXaaabaGaaGOmaaqaaiaaiEdaaeaacqGHsislcaaIXaaabaGaaG4maaqaaiaabgdaaeaacaqG0aaabaGaaGynaaqaaiaaiEdaaaaacaGLOaGaayzkaaaaaa@4443@  desarrollando por la primera columna:

| 1 2 7 −1 3 1 4 5 7 |=1·| 3 1 5 7 |+1·| 2 7 5 7 |+4·| 2 7 3 1 |=16−21−76=−81 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@6BCE@

Si antes de desarrollar, hacemos ceros en la primera columna, tomando al coeficiente (1,1) como pivote, tenemos:

( 1 2 7 −1 3 1 4 5 7 )→ F 2 +F 1 ⊳( 1 2 7 0 5 8 4 5 7 )  → F 3 -4F 1 ⊳ ( 1 2 7 0 5 8 0 −3 −21 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@68EA@

Observa que hemos hecho operaciones en las que la fila Fi se ha sustituido por otra del tipo fila Fi + k . fila Fj. Este cambio corresponde a una operación elemental particular que respeta el valor del determinante (Propiedad 5) [es importante que observes que otras operaciones elementales podrían variarlo]. Así, finalmente:

| 1 2 7 −1 3 1 4 5 7 |=| 1 2 7 0 5 8 4 5 7 |=| 1 2 7 0 5 8 0 −3 −21 |=1·| 5 8 −3 −21 |=−81 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@6D4C@