Propiedades de los determinantes
Propiedades de los determinantes

Ejemplificaremos las siguientes propiedades sobre matrices de orden 3, pero son válidas para cualquier orden.
Observa que las propiedades 1, 2 y 5 siguientes (recuadradas en negro), indican la transformación que sufre el determinante de una matriz cuando hacemos en ella operaciones elementales.


1. Si intercambiamos entre sí dos filas (o dos columnas) de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.

| a b c d e f g h i |=−| d e f a b c g h i | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefqvyO9wBHbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiGacaGaamqadaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabeqadmaaaabbOpaaaaaasvgza8qabaGaamyyaaqaaiaadkgaaeGabaaSniaadogaa8aabaGaamizaaqaaiaadwgaaeaacaWGMbaabaGaam4zaaqaaiaadIgaaeaacaWGPbaaaaGaay5bSlaawIa7aiabg2da9iabgkHiTmaaemaabaqbaeqabmWaaaqaaiaadsgaaeaacaWGLbaabaGaamOzaaWdbeaacaWGHbaabaGaamOyaaqaaiaadogaa8aabaGaam4zaaqaaiaadIgaaeaacaWGPbaaaaGaay5bSlaawIa7aaaa@570F@

2. Si los elementos de una línea de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.

| t·a t·b t·c d e f g h i |=t·| a d g b e h c f i | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefqvyO9wBHbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiGacaGaamqadaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabeqadmaaaeaaqqa6daaaaaGuLrgapeGaamiDaiaacElapaGaamyyaaqaa8qacaWG0bGaai4Ta8aacaWGIbaabaWdbiaadshacaGG3cWdaiaadogaaeaacaWGKbaabaGaamyzaaqaaiaadAgaaeaacaWGNbaabaGaamiAaaqaaiaadMgaaaaacaGLhWUaayjcSdGaeyypa0ZdbiaadshacaGG3cWdamaaemaabaqbaeqabmWaaaqaaiaadggaaeaacaWGKbaabaGaam4zaaqaaiaadkgaaeaacaWGLbaabaGaamiAaaqaaiaadogaaeaacaWGMbaabaGaamyAaaaaaiaawEa7caGLiWoaaaa@5E70@

Por tanto, si A es una matriz de orden 3  y  t un número, tenemos que:  det(t.A) = t3.det (A)

3. Si descomponemos todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea el primero y el segundo sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que la matriz inicial.

| a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d e f g h i |=| a 1 b 1 c 1 d e f g h i |+| a 2 b 2 c 2 d e f g h i | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefqvyO9wBHbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@700C@

4. Matrices que tienen determinante 0:

  1. La que tiene dos filas iguales.  | a b c a b c g h i |=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefqvyO9wBHbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiGacaGaamqadaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabeqadmaaaabbOpaaaaaasvgza8qabaGaamyyaaqaaiaadkgaaeGabaaSniaadogaaabbaaaaaG+acXwDLbWdceaacaWGHbaabaGaamOyaaqaaiaadogaa8aabaGaam4zaaqaaiaadIgaaeaacaWGPbaaaaGaay5bSlaawIa7aiabg2da9iaaicdaaaa@4DD9@

  2. La que tiene dos filas proporcionales. | a b c t · a t · b t · c g h i |=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefqvyO9wBHbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiGacaGaamqadaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabiqadmaaaeaacaWGHbaabaGaamOyaaqaceaaW2Gaam4yaaqaaiaadshacaaMc8Uaai4TaiaaykW7caWGHbaabaGaamiDaiaaykW7caGG3cGaaGPaVlaadkgaaeaacaWG0bGaaGPaVlaacElacaaMc8Uaam4yaaqaaiaadEgaaeaacaWGObaabaGaamyAaaaaaiaawEa7caGLiWoacqGH9aqpcaaIWaaaaa@58E6@

  3. La que tiene una fila que es combinación lineal de otras filas. | t·d+s·g t·e+s·h t·f+s·i d e f g h i |=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefqvyO9wBHbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiGacaGaamqadaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabeqadmaaaeaacaWG0bGaai4TaiaadsgacqGHRaWkcaWGZbGaai4TaiaadEgaaeaacaWG0bGaai4TaiaadwgacqGHRaWkcaWGZbGaai4TaiaadIgaaeaacaWG0bGaai4TaiaadAgacqGHRaWkcaWGZbGaai4TaiaadMgaaeaacaWGKbaabaGaamyzaaqaaiaadAgaaeaacaWGNbaabaGaamiAaaqaaiaadMgaaaaacaGLhWUaayjcSdGaeyypa0JaaGimaaaa@5AFB@

Lo que hemos dicho para filas es válido también para columnas.

Observa que el caso (c) incluye a los casos (a) y (b).

5. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.

| a b c d e f g h i |=| a b c d e f g+t·a h+t·b i+t·c | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefqvyO9wBHbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiGacaGaamqadaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabeqadmaaaeaacaWGHbaabaGaamOyaaqaaiaadogaaeaacaWGKbaabaGaamyzaaqaaiaadAgaaeaacaWGNbaabaGaamiAaaqaaiaadMgaaaaacaGLhWUaayjcSdGaeyypa0ZaaqWaaeaafaqabeWadaaabaGaamyyaaqaaiaadkgaaeaacaWGJbaabaGaamizaaqaaiaadwgaaeaacaWGMbaabaGaam4zaiabgUcaRiaadshacaGG3cGaamyyaaqaaiaadIgacqGHRaWkcaWG0bGaai4TaiaadkgaaeaacaWGPbGaey4kaSIaamiDaiaacElacaWGJbaaaaGaay5bSlaawIa7aaaa@5F01@

                                                                         

6. El determinante del producto es igual al producto de los determinantes.

det (A·B) = det (A) · det (B)

Deducimos, en particular, que det(A-1)= 1 det⁡(A) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWcaaqaaiaaigdaaeaaciGGKbGaaiyzaiaacshacaGGOaGaamyqaiaacMcaaaaaaa@3E59@ .

7. El determinante de una matriz cuadrada A es igual al determinante de su matriz traspuesta.

det (A) = det (At)

 

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