Desarrollo del determinante por una línea
Desarrollo del determinante por una línea (fila o columna).

Observa lo que ocurre en una matriz A =( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 )  (de orden 3) al multiplicar cada elemento de la primera fila por su adjunto y sumar:

a11.A11+a12.A12+a13.A13 =  a 11 | a 22 a 23 a 32 a 33 |− a 12 | a 21 a 23 a 31 a 33 |+ a 13 | a 21 a 22 a 31 a 32 | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8trps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9q8WrFr0xc9fs0xc9q8qqaqFn0dXdir=xcvk9pIe9q8qqaq=dir=f0=yqaqVeLsFr0=vr0=vr0db8meaabaqaaiGacaGaaeqabaWaaqaafaaakqaabeqaaiaadggadaWgaaWcbaGaaGymaiaaigdaaeqaaOWaaqWaaeaafaqabeGacaaabaGaamyyamaaBaaaleaacaaIYaGaaGOmaaqabaaakeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaaikdacaaIZaaabeaaaOqaaiaadggadaWgaaWcbaGaaG4maiaaikdaaeqaaaGcbaGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaG4maaqabaaaaaGccaGLhWUaayjcSdGaeyOeI0IaamyyamaaBaaaleaacaaIXaGaaGOmaaqabaGcdaabdaqaauaabeqaciaaaeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaaikdacaaIXaaabeaaaOqaaiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaiodaaeqaaaGcbaGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaGymaaqabaaakeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaaiodacaaIZaaabeaaaaaakiaawEa7caGLiWoacqGHRaWkcaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIZaaabeaakmaaemaabaqbaeqabiGaaaqaaiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaigdaaeqaaaGcbaGaamyyamaaBaaaleaacaaIYaGaaGOmaaqabaaakeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaaiodacaaIXaaabeaaaOqaaiaadggadaWgaaWcbaGaaG4maiaaikdaaeqaaaaaaOGaay5bSlaawIa7aiabg2da9aqaaaaaaa@6E73@ =

 =a11(a22a33-a23a32)-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a22a31)=

= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8trps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9q8WrFr0xc9fs0xc9q8qqaqFn0dXdir=xcvk9pIe9q8qqaq=dir=f0=yqaqVeLsFr0=vr0=vr0db8meaabaqaaiGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIXaaabeaakiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaikdaaeqaaOGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaG4maaqabaGccqGHRaWkcaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIYaaabeaakiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaiodaaeqaaOGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIZaaabeaakiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaigdaaeqaaOGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaGOmaaqabaGccqGHsislcaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIXaaabeaakiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaiodaaeqaaOGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaGOmaaqabaGccqGHsislcaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIYaaabeaakiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaigdaaeqaaOGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaG4maaqabaGccqGHsislcaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIZaaabeaakiaadggadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaikdaaeqaaOGaamyyamaaBaaaleaacaaIZaGaaGymaaqabaaaaa@6E3B@   =  det(A)


Obtenemos el determinante de A. Lo mismo ocurre al tomar cualquier otra línea, por ejemplo, la segunda columna:

a12.A12+a22.A22+a32.A32=det(A)

En general, el determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por sus adjuntos respectivos. Por ejemplo, con la fila i:

det (A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 +... + ain Ain

Esta expresión se suele llamar desarrollo del determinante por la fila i.

Análogamente tenemos el desarrollo del determinante por la columna j:

det (A) = a1j A1j + a2j A2j + a3j A3j +... + anj Anj

EJEMPLO

Calculamos el siguiente determinante desarrollando, por ejemplo, por la primera columna: | 1 2 7 −1 3 1 4 5 7 |=1·| 3 1 5 7 |+1·| 2 7 5 7 |+4·| 2 7 3 1 |=16−21−76=−81 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@6BCE@ Obtenemos el mismo resultado desarrollando por cualquier otra línea. Por ejemplo, por la tercera fila:

| 1 2 7 −1 3 1 4 5 7 |=4·| 2 7 3 1 |−5·| 1 7 −1 1 |+7·| 1 2 −1 3 |=−76−40+35=−81 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@6E8F@

El desarrollo del determinante por una fila o columna nos permite calcular determinantes de matrices de cualquier orden reduciendo, sucesivamente, el orden de los adjuntos implicados. Pulsando el botón siguiente puedes ver un ejemplo detallado.


Ahora es sencillo comprobar que:

  • Si una matriz cuadrada tiene nulos todos los elementos de una línea, su determinante es cero .

  • El determinante de una matriz (cuadrada) triangular o diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal . En particular, el determinante de la matriz nula es 0 y el de la matriz identidad es 1.

Este último resultado se puede generalizar al cálculo del determinante de una "matriz por cajas":