Menores de una matriz mxn

Menores de una matriz mxn

Menores de una matriz mxn

Hasta el momento venimos trabajando con el determinante de una matriz cuadrada. Dentro de una matriz de cualquier dimensión -cuadrada o no- también es posible extraer submatrices cuadradas y calcular sus determinantes. Introducimos a continuación esta idea a través del concepto de menor de una matriz. Después veremos que los menores están muy relacionados con el rango de la matriz.

Dada una matriz A de dimensión mxn podemos elegir en ella k filas y k columnas. Se llama menor de orden k de A al determinante de la matriz de orden k formada por los elementos situados en los cruces de dichas k filas y k columnas.

Observa que puede haber muchas formas de elegir k filas y k columnas, por tanto una matriz puede tener muchos menores de orden k. Además, aunque no es necesario que las filas o columnas sean consecutivas sí han de estar 'ordenadas'. El ejemplo siguiente te aclarará esta idea.

EJEMPLO

En la matriz A=( 1 2 7 −1 0 1 4 5 7 4 5 −1 5 −2 2 −6 7 9 −5 2 −9 3 0 5 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9q8WrFr0xc9fs0xc9q8qqaqFn0dXdir=xcvk9pIe9q8qqaq=dir=f0=yqaqVeLsFr0=vr0=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@652E@ la parte recuadrada da lugar a un menor de orden 3:

| 4 5 −1 5 −2 2 −6 7 9 |=−436 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaGacmGadaWaaiqacaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabiqadmaaaeaacaaI0aaabaGaaGynaaqaaiabgkHiTiaaigdaaeaacaaI1aaabaGaeyOeI0IaaGOmaaqaaiaaikdaaeaacqGHsislcaaI2aaabaGaaG4naaqaaiaaiMdaaaaacaGLhWUaayjcSdGaeyypa0JaeyOeI0IaaGinaiaaiodacaaI2aaaaa@4C03@

No es necesario que las filas o columnas sean consecutivas, pero sí han de estar 'ordenadas': ( 1 2 7 4 5 −1 −1 4 −5 0 1 5 7 2 −9 5 −6 3 −2 7 0 2 9 5 )→ | 0 1 −2 5 7 7 2 −9 0 |=132 ︸ SI es menor de orden 3 | 0 −2 1 5 7 7 2 0 −9 |=−132 ︸ NO es menor de orden 3 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@CBD9@

Otros ejemplos de menores de la matriz A:

| 5 | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaGacmGadaWaaiqacaabauaagaaakeaadaabdaqaaiaaygW7caaMe8UaaGynaiaaysW7aiaawEa7caGLiWoacaqGGaaaaa@4449@ =5 es un menor de orden 1.

| 4 5 −5 2 | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaGacmGadaWaaiqacaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabeqaciaaaeaacaqG0aaabaGaaeynaaqaaiabgkHiTiaaiwdaaeaacaaIYaaaaaGaay5bSlaawIa7aiaabccaaaa@42CD@ = -33 es un menor de orden 2.
| 0 2 5 9 | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaGacmGadaWaaiqacaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabeqaciaaaeaacaqGWaaabaGaaeOmaaqaaiaaiwdaaeaacaaI5aaaaaGaay5bSlaawIa7aiaabccaaaa@41E0@ =-10 es un menor de orden 2.

| 1 2 7 5 −1 0 1 −2 4 5 7 7 −5 2 −9 0 | MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaGacmGadaWaaiqacaabauaagaaakeaadaabdaqaauaabiqaeqaaaaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaeaacaaI3aaabaGaaGynaaqaaiabgkHiTiaaigdaaeaacaaIWaaabaGaaGymaaqaaiabgkHiTiaaikdaaeaacaaI0aaabaGaaGynaaqaaiaaiEdaaeaacaaI3aaabaGaeyOeI0IaaGynaaqaaiaaikdaaeaacqGHsislcaaI5aaabaGaaGimaaaaaiaawEa7caGLiWoaaaa@4DF2@ =-500 es un menor de orden 4.

En una matriz A de orden n, det(A) es su único menor de orden n.