Determinante nxn

Determinante nxn

Usaremos una serie de conceptos que vamos a ver seguidamente.

Con los números 1,2, y 3 podemos hacer las siguientes permutaciones:

S 3 ={  123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321  } MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaGacmGadaWaaiqacaabauaagaaakeaacaqGtbWaaSbaaSqaaiaabodaaeqaaOGaaeypamaacmaabaGaaeiiaiaabgdacaqGYaGaae4maiaabccacaqGSaGaaeiiaiaabgdacaqGZaGaaeOmaiaabccacaqGSaGaaeiiaiaabkdacaqGXaGaae4maiaabccacaqGSaGaaeiiaiaabkdacaqGZaGaaeymaiaabccacaqGSaGaaeiiaiaabodacaqGXaGaaeOmaiaabccacaqGSaGaaeiiaiaabodacaqGYaGaaeymaiaabccaaiaawUhacaGL9baaaaa@579E@

Una permutación σ de los números 1,2,…,n es una ordenación  σ(1)σ(2)…σ(n) de dichos números .

El conjunto de todas las permutaciones posibles de 1,2,…,n se denota por Sn.

Dos elementos de una permutación forman una inversión si el orden en que aparecen no coincide con el orden de la permutación principal. Se llama índice de una permutación σ al número total de inversiones que tiene. Se simboliza por i(σ). Así distinguimos las permutaciones de clase par, que son aquellas cuyo índice es un número par; y las permutaciones de clase impar, que son aquellas cuyo índice es un número impar. En el caso anterior tenemos:  

Permutaciones de clase par

Permutaciones de clase impar

      123    (0 inversiones)

      231    (2 inversiones: 21 y 31)

      312    (2 inversiones: 31 y 32)

       132    (1 inversión: 32)

       213    (1 inversión: 21)

       321    (3 inversiones: 32, 21 y 31)

En el determinante de una matriz nxn aparecen todos los productos del tipo:

a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)

donde σ es una permutación de 1,2,…,n.

Por tanto, podemos escribir:

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es el número real:

det(A)=| A |=| a 11 a 1n a n1 a nn |= σ S n ( -1 ) i(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) .... a nσ(n) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqefqvyO9wBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaGacmGadaWaaiqacaabauaagaaakeaacaqGKbGaaeyzaiaabshacaqGOaGaaeyqaiaabMcacaqG9aWaaqWaaeaacaqGbbaacaGLhWUaayjcSdGaaeypamaaemaabaqbaeqabmWaaaqaaiaabggadaWgaaWcbaGaaeymaiaabgdaaeqaaaGcbaGaeSOjGSeabaGaaeyyamaaBaaaleaacaqGXaGaaeOBaaqabaaakeaacqWIUlstaeaacqWIXlYtaeaacqWIUlstaeaacaqGHbWaaSbaaSqaaiaab6gacaqGXaaabeaaaOqaaiabl+UimbqaaiaabggadaWgaaWcbaGaaeOBaiaab6gaaeqaaaaaaOGaay5bSlaawIa7aiabg2da9maaqahabaWaaeWaaeaacaqGTaGaaeymaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaeyAaiaabIcacaqGdpGaaeykaaaakiaabggadaWgaaWcbaGaaeymaiaabo8acaqGOaGaaeymaiaabMcaaeqaaOGaaeyyamaaBaaaleaacaqGYaGaae4WdiaabIcacaqGYaGaaeykaaqabaGccaqGUaGaaeOlaiaab6cacaqGUaGaaeyyamaaBaaaleaacaqGUbGaae4WdiaabIcacaqGUbGaaeykaaqabaaabaGaae4WdiabgIGiolaabofadaWgaaadbaGaaeOBaaqabaaaleaaa0GaeyyeIuoaaaa@7DD1@

Si lo deseas puedes comprobar que la expresión obtenida antes para los determinantes de orden 2 y 3 coincide con la obtenida a partir de esta definición.

     

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