Realizando operaciones elementales sobre una matriz A
cualquiera es posible obtener una matriz escalonada .
(
2
3
1
1
5
3
− 3
0
7
) →
2 ª − (
1
2
) .1 ª ⊳
3 ª + (
3
2
) 1 ª ⊳
(
2
3
1
0
7
2
5
2
0
9
2
17
2
) →
2 ª − (
1
2
) .1 ª ⊳
3 ª + (
3
2
) 1 ª ⊳
(
2
3
1
0
7
2
5
2
0
9
2
17
2
)
→
3 ª − (
9
7
) 2 ª ⊳
(
2
3
1
0
7
2
5
2
0
0
6
)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@9DD7@
En cada paso hacemos ceros en una columna por debajo del
primer elemento no nulo, utilizando a éste como pivote .
Además, podemos seguir haciendo operaciones elementales para conseguir
ceros por encima de la diagonal :
(
2
3
1
0
7
2
5
2
0
0
6
) →
1 ª − (
1 / 6
) 3 ª ⊳
2 ª − (
5 / 12
) 3 ª ⊳
(
2
3
0
0
7
2
0
0
0
6
)
1
ª −
(
6 / 7
) 2
ª
⊳
→
(
2
0
0
0
7
2
0
0
0
6
)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@7DCC@
El proceso de escalonamiento de una matriz no es único.
Veamos otra forma de escalonar la matriz A anterior:
A = (
2
3
1
1
5
3
− 3
0
7
)
C a m b i o ⊳
1 ª y 2 ª ⊳
(
1
5
3
2
3
1
− 3
0
7
)
2 ª − 2.1 ª ⊳
3 ª + 3.1 ª ⊳
(
1
5
3
0
− 7
− 5
0
15
16
)
15.2 ª + 7.3 ª ⊳
(
1
5
3
0
− 7
− 5
0
0
37
)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@8F39@
A partir de una misma matriz A se pueden obtener distintas escalonadas
Pulsa en el
Estos procesos son reversibles, es decir,
partiendo de cualquiera de las matrices escalonadas
A1 , A2 ,...
obtenidas a partir de A se puede recuperar ésta haciendo operaciones elementales ;
basta 'deshacer' los pasos dados.
También es posible obtener A1
a partir de A2 o de A3 ;
A2 a partir de A1 o de A3 , etc.
A
↙ ↗
↖ ↘
A
1
↔
A
2
↔
A
3
↔
⋯
MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeqabaWaaqaafaaakqaaceqaaiaadgeaaeaafaqaceqahaaaaeaaaeaaaeaacqWIzgYwcqWIxgIwaeaaaeaacqWIwgIxcqWIygsxaeaaaeaaaaaabaqbaeGabeWbaaaabaGaamyqamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaaysW7aeaacqGHugYQaeaacaaMe8UaamyqamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaaysW7aeaacqGHugYQaeaacaaMe8UaamyqamaaBaaaleaacaaIZaaabeaakiaaysW7aeaacqGHugYQaeaacqWIVlctaaaaaaa@54D3@