Propiedades básicas de la integral


Comencemos con las cuatro propiedades básicas de la integral.Si tenemos presente la idea de la integral como área, será fácil reconocerlas y recordarlas. Las demostraciones formales de cada una pueden verse pulsando los botones de demostración. Para ver los dibujos a su tamaño real, pulsa sobre ellos.

  1. La integral conserva las desigualdades. Es decir, si tenemos dos funciones f y g integrables en un intervalo [a,b], y f(x)≤g(x)   en cada punto x del intervalo, entonces

    ∫ a b f(x)dx≤ ∫ a b g(x)dx

  1. La integral es aditiva respecto del intervalo. Es decir si f es una función acotada en un intervalo [a,b], y c es un punto entre a y b, entonces f es integrable en [a,b] si y sólo si lo es en cada uno de los en los intervalos [a,c] y [c,b]; y además

    ∫ a b f(x)dx= ∫ a c f(x)dx+ ∫ c b f(x)dx

  1. La integral de la suma es la suma de las integrales. Es decir, si f y g son dos funciones integrables definidas en el intervalo [a,b], entonces f+g es integrable en [a,b] y

    ∫ a b [ f(x)+g(x) ]dx= ∫ a b f(x)dx+ ∫ a b g(x)dx

  1. La integral de un número por una función es el producto del número por la integral de la función. Es decir, si f es una función integrable en un intervalo [a,b], y α   es un número real, entonces αf f es integrable en [a,b] y

    ∫ a b αf(x)dx=α ∫ a b f(x)dx