El ejemplo anterior nos sirve como modelo de propiedades
mucho más generales. En todos los casos hablamos de funciones definidas
en intervalos acotados, [a,b]:
Todas las funciones continuas son integrables
Todas las funciones acotadas con un número finito
de puntos de discontinuidad son integrables
Todas las funciones monótonas son integrables
Gracias a la primera propiedad es fácil
poner infinidad de ejemplos de funciones integrables
Utilizando la segunda propiedad, podemos poner ejemplos
de funciones escalonadas, o funciones definidas con diferentes fórmulas
en diferentes sub-intervalos.
El interés de la tercera propiedad es menos evidente,
si sólo se nos ocurren funciones monótonas que sean continuas. Sin
embargo vamos a utilizar esta propiedad para mostrar que puede haber
funciones integrables con una cantidad infinita numerable de puntos de
discontinuidad, construyendo un ejemplo
En el ejemplo anterior, los puntos de discontinuidad están muy
separados unos de otros, y dispersos en el intervalo. Sin embargo
podemos ver con un ejemplo más sofisticado que puede
haber funciones integrables con puntos de
discontinuidadpor todas partes: en el lenguaje
matemático, se diría que el conjunto de puntos de discontinuidad es
denso en el intervalo de integración.