|
La distancia d entre un punto P y un plano p,
es la menor de las distancias que separan P de los puntos del plano. Es también la distancia entre P y su
proyección ortogonal, P′, sobre el plano.
Conocida la ecuación general Ax + By + Cz + D = 0
del plano y las coordenadas (x0, y0, z0) del punto, la distancia
viene dada por la fórmula:
|
Distancia entre un punto y un plano
d(
P, π
)=
| Ax0
+By0
+Cz0
+D |
A 2+
B 2+C
2
MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1
BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqr
FfpC0xe9LqFHe9Lqpepeea0df9q8as0=LqLs=Jirpepeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9qapdbaqaa
eGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizamaabmaabaGaamiuaiaacYcacaaMc8UaeqiWdahacaGLOaGa
ayzkaaGaeyypa0ZaaSaaaeaadaabdaqaaiaadgeacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaey4kaSIaamO
qaiaadMhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccqGHRaWkcaWGdbGaamOEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgU
caRiaadseaaiaawEa7caGLiWoaaeaadaGcaaqaaiaadgeadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWGc
bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaam4qamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaaaaa@568B@
|
[ver
demostración]
|
Existen otro procedimiento muy interesante -y evidente- para obtener la distancia entre un punto y un plano.
EMPLEANDO LA RECTA PERPENDICULAR A p
POR P
|
-
El vector normal del plano
n →
( A
, B,
C )
es, asimismo, vector de dirección de la recta r que pasa por P y es
perpendicular al plano. Con el vector de dirección y las coordenadas del punto se
obtiene la ecuación de r.
-
Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la recta y el plano y se obtiene el punto
P′.
P ′=
r∩π
MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBae
XatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xe9LqFHe9
Lqpepeea0df9q8as0=LqLs=Jirpepeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9qapdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaaba
abaaGcbaGabmiuayaafaGaeyypa0JaamOCaiabgMIihlabec8aWbaa@3EC7@
Para ello basta con sustituir las ecuaciones paramétricas de r en la ecuación
de p. Se obtendrá como solución
el valor del parámetro correspondiente al punto P′.
-
La distancia buscada es, ahora, la distancia entre P y P′.
d(P, p)
= d(P, P′)
|
|