Un plano, p, queda determinado, según lo visto en el apartado anterior, cuando se conocen un punto, P, y dos vectores   u→   y  v→ MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLw BLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc 9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmyDayaalaG aaeiiaiaabccacaqG5bGaaeiiaiaabccaceWG2bGbaSaaaaa@3B93@   paralelos al mismo (vectores de dirección o vectores directores).

Hay una forma, aún más sencilla, de determinar un plano. Con un punto del plano y un vector perpendicular al mismo, el plano queda perfectamente determinado.

Se llama VECTOR NORMAL del plano a cualquier vector perpendicular al mismo.

Además,

Efectivamente, si se toman dos puntos arbitrarios, P(x₀, y ₀,  z₀) y X(x, y, z) del plano   π: Ax +By+Cz+ D=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9 gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9 pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWdaNaaiOoai aadgeacaWG4bGaey4kaSIaamOqaiaadMhacqGHRaWkcaWGdbGaamOEaiabgUcaRiaadseacqGH9aqpcaaIWaaaaa@42EB@   (ver figura), se tiene que las coordenadas de ambos puntos satisfacen la ecuación del plano:

Ax +By+Cz+ D=0 A x0 +By0 +Cz0 + D=0 restando las igualdades: A ( x−x0 )+B( y−y0 )+C( z −z0 ) =0 que se puede expresar como un producto escalar: ( A,  B, C )⋅( x −x0 ,  y−y0 , z− z0 )=0 resultando: n→ ⋅ PX → =0   ;   n→ ⊥ PX →    ;    n → ⊥π   MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gB aerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9 Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaWGbbGaamiEaiab gUcaRiaadkeacaWG5bGaey4kaSIaam4qaiaadQhacqGHRaWkcaWGebGaeyypa0JaaGimaaqaaiaadgeacaWG4bWaaSbaaSqaaiaa icdaaeqaaOGaey4kaSIaamOqaiaadMhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccqGHRaWkcaWGdbGaamOEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaa kiabgUcaRiaadseacqGH9aqpcaaIWaaabaGaaeOCaiaabwgacaqGZbGaaeiDaiaabggacaqGUbGaaeizaiaab+gacaqGGaGaaeiB aiaabggacaqGZbGaaeiiaiaabMgacaqGNbGaaeyDaiaabggacaqGSbGaaeizaiaabggacaqGKbGaaeyzaiaabohacaqG6aaabaGa amyqamaabmaabaGaamiEaiabgkHiTiaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakiaawIcacaGLPaaacqGHRaWkcaWGcbWaaeWaaeaa caWG5bGaeyOeI0IaamyEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaadoeadaqadaqaaiaadQhacqGHsisl caWG6bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaaGimaaqaaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaabccacaqGZbGa aeyzaiaabccacaqGWbGaaeyDaiaabwgacaqGKbGaaeyzaiaabccacaqGLbGaaeiEaiaabchacaqGYbGaaeyzaiaabohacaqGHbGa aeOCaiaabccacaqGJbGaae4Baiaab2gacaqGVbGaaeiiaiaabwhacaqGUbGaaeiiaiaabchacaqGYbGaae4BaiaabsgacaqG1bGa ae4yaiaabshacaqGVbGaaeiiaiaabwgacaqGZbGaae4yaiaabggacaqGSbGaaeyyaiaabkhacaqG6aaabaWaaeWaaeaacaWGbbGa aiilaiaaysW7caWGcbGaaiilaiaaysW7caWGdbaacaGLOaGaayzkaaGaeyyXIC9aaeWaaeaacaWG4bGaeyOeI0IaamiEamaaBaaa leaacaaIWaaabeaakiaacYcacaaMe8UaamyEaiabgkHiTiaadMhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGSaGaaGjbVlaadQhacqGH sislcaWG6bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaaGimaaqaaiaabkhacaqGLbGaae4CaiaabwhacaqG SbGaaeiDaiaabggacaqGUbGaaeizaiaab+gacaqG6aaabaGabmOBayaalaGaeyyXIC9aa8HaaeaacaWGqbGaamiwaaGaay51GaGa eyypa0JaaGimaiaaysW7caaMe8Uaai4oaiaaysW7caaMe8UabmOBayaalaGaeyyPI41aa8HaaeaacaWGqbGaamiwaaGaay51GaGa aGjbVlaaysW7caGG7aGaaGjbVpaaL4babaGaaGjbVlqad6gagaWcaiabgwQiEjabec8aWjaaysW7aaaaaaa@EDAC@

Ello permite, por último, obtener de una forma muy rápida la ecuación de un plano conocido un vector normal (perpendicular), (A, B, C) y un punto P(x₀, y₀,  z₀) :

ECUACIÓN DEL PLANO CONOCIDOS UN VECTOR NORMAL Y UN PUNTO p: A (x − x0) +  B(y − y0) +  C(z − z0) = 0

También es posible emplear los vectores normales de los planos que determinan una recta cuando viene dada en forma implícita, esto es, como intersección de dos planos. El vector de dirección de la recta se puede obtener, entonces, mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos (ver figura).

r :{ A x+By+C z+D=0 A ′x+ B ′y+ C ′z+ D ′=0 u→ = n → 1 × n →2 = ( A, B , C ) ×( A′ , B′ , C′ ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI 9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xe9LqFHe9Lqpepeea0df9q8 as0=LqLs=Jirpepeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9qapdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaWGYbG aaiOoamaaceaaeaqabeaacaWGbbGaamiEaiabgUcaRiaadkeacaWG5bGaey4kaSIaam4qaiaadQhacqGHRaWkcaWGebGaeyyp a0JaaGimaaqaaiqadgeagaqbaiaadIhacqGHRaWkceWGcbGbauaacaWG5bGaey4kaSIabm4qayaafaGaamOEaiabgUcaRiqad seagaqbaiabg2da9iaaicdaaaGaay5EaaaabaGabmyDayaalaGaeyypa0JabmOBayaalaWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaey 41aqRabmOBayaalaWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWGbbGaaiilaiaaysW7caWGcbGaaiilaiaaysW 7caWGdbaacaGLOaGaayzkaaGaey41aq7aaeWaaeaaceWGbbGbauaacaGGSaGaaGjbVlqadkeagaqbaiaacYcacaaMe8Uabm4q ayaafaaacaGLOaGaayzkaaaaaaa@6C9E@