Geometría Analítica II 11

Producto mixto de tres vectores

El producto mixto de tres vectores, u→, v→ y w→, y se escribe [ u→,  v→,  w→ ], es el producto escalar del primero por el producto vectorial del segundo por el tercero.

[ u → ,  v→ ,  w→ ] = u → ⋅( v →× w → ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxB I9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipC0de9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0x bba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaamWaaeaa ceWG1bGbaSaacaGGSaGaaGjbVlqadAhagaWcaiaacYcacaaMe8Uabm4DayaalaaacaGLBbGaayzxaaGaeyypa0JabmyDayaa laGaeyyXIC9aaeWaaeaaceWG2bGbaSaacqGHxdaTceWG3bGbaSaaaiaawIcacaGLPaaaaaa@48FE@

EXPRESIÓN ANALÍTICA

Si   u →  ( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ),  v → ( x 2,  y 2,  z 2 ),   w →  ( x 3 ,  y 3 ,  z 3 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9 gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipC0de9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9 pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmyDayaalaGaaG PaVpaabmaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaaMc8UaamyEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaaM c8UaamOEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiaacYcacaaMe8UabmODayaalaGaaGPaVpaabmaabaGaamiEam aaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaacYcacaaMc8UaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaacYcacaaMc8UaamOEamaaBaaaleaa caaIYaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiaacYcacaaMe8Uabm4DayaalaGaaGPaVpaabmaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIZaaabe aakiaacYcacaaMc8UaamyEamaaBaaaleaacaaIZaaabeaakiaacYcacaaMc8UaamOEamaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaOGaayjk aiaawMcaaaaa@6503@ ,

      [ u → ,  v→ ,  w→ ] = u → ⋅( v →× w → )= | x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 | MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9 gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipC0de9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9 pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaamWaaeaaceWG1b GbaSaacaGGSaGaaGjbVlqadAhagaWcaiaacYcacaaMe8Uabm4DayaalaaacaGLBbGaayzxaaGaeyypa0JabmyDayaalaGaeyyX IC9aaeWaaeaaceWG2bGbaSaacqGHxdaTceWG3bGbaSaaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpdaabdaqaauaabeqadmaaaeaacaWG4b WaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOqaaiaadQhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaakeaa caWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaOqaaiaadQhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqaba aakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaOqaaiaadQhadaWgaaWcbaGaaG4m aaqabaaaaaGccaGLhWUaayjcSdaaaa@5EAD@

Efectivamente,
      [ u →,   v → ,  w → ]= u→ ⋅ ( v→ ×w→ )=( x 1 , y 1 , z 1 )⋅ ( | y 2 z 2 y 3 z 3 |,  | z 2 x 2 z 3 x 3 | , | x 2 y 2 x 3 y 3 | )= = x1  | y 2 z 2 y 3 z 3 |+y1  | z 2 x 2 z 3 x 3 | +z1   | x 2 y 2 x 3 y 3 |=| x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 | MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gB aerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipC0de9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9 Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaWadaqaaiqadwha gaWcaiaacYcacaaMe8UabmODayaalaGaaiilaiaaysW7ceWG3bGbaSaaaiaawUfacaGLDbaacqGH9aqpceWG1bGbaSaacqGHflY1 daqadaqaaiqadAhagaWcaiabgEna0kqadEhagaWcaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maabmaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIXaaa beaakiaacYcacaaMc8UaamyEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaaMc8UaamOEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOGaayjk aiaawMcaaiabgwSixpaabmaabaWaaqWaaeaafaqabeGacaaabaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaOqaaiaadQhadaWgaaWc baGaaGOmaaqabaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaaGcbaGaamOEamaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaaaakiaawEa7caGL iWoacaGGSaGaaGjbVpaaemaabaqbaeqabiGaaaqaaiaadQhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikda aeqaaaGcbaGaamOEamaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaOqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaG4maaqabaaaaaGccaGLhWUaayjcSdGaaiil aiaaysW7daabdaqaauaabeqaciaaaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaOqa aiaadIhadaWgaaWcbaGaaG4maaqabaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaaaaaOGaay5bSlaawIa7aaGaayjkaiaawMca aiabg2da9aqaaiabg2da9iaadIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaaMc8+aaqWaaeaafaqabeGacaaabaGaamyEamaaBaaaleaa caaIYaaabeaaaOqaaiaadQhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaaGcbaGaamOEamaaBaaa leaacaaIZaaabeaaaaaakiaawEa7caGLiWoacqGHRaWkcaWG5bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaGPaVpaaemaabaqbaeqabiGa aaqaaiaadQhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaamOEamaaBaaaleaacaaIZaaa beaaaOqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaG4maaqabaaaaaGccaGLhWUaayjcSdGaey4kaSIaamOEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaa ykW7daabdaqaauaabeqaciaaaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaOqaaiaa dIhadaWgaaWcbaGaaG4maaqabaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaaaaaOGaay5bSlaawIa7aiabg2da9maaemaabaqb aeqabmWaaaqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaaGcbaGaamOEamaaBaaaleaa caaIXaaabeaaaOqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaamOEamaaBaaa leaacaaIYaaabeaaaOqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaG4maaqabaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaaGcbaGaamOEamaa BaaaleaacaaIZaaabeaaaaaakiaawEa7caGLiWoaaaaa@C3C9@

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

El valor absoluto del producto mixto es el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores.

      | [ u →,   v → ,  w → ] | =  volumen paralelepípedo determinado por   u →,   v →  y   w →. MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9 gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipC0de9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9 pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaqWaaeaadaWada qaaiqadwhagaWcaiaacYcacaaMe8UabmODayaalaGaaiilaiaaysW7ceWG3bGbaSaaaiaawUfacaGLDbaaaiaawEa7caGLiWoa cqGH9aqpcaqGGaGaaeODaiaab+gacaqGSbGaaeyDaiaab2gacaqGLbGaaeOBaiaabccacaqGWbGaaeyyaiaabkhacaqGHbGaae iBaiaabwgacaqGSbGaaeyzaiaabchacaqGTdGaaeiCaiaabwgacaqGKbGaae4BaiaabccacaqGKbGaaeyzaiaabshacaqGLbGa aeOCaiaab2gacaqGPbGaaeOBaiaabggacaqGKbGaae4BaiaabccacaqGWbGaae4BaiaabkhacaqGGaGaaeiiaiqadwhagaWcai aacYcacaaMe8UabmODayaalaGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaaGjbVlqadEhagaWcaiaac6caaaa@71DD@

Efectivamente (ver figura):

      | [ u→ ,  v→ , w → ] | =| u →⋅( v →× w → ) |=| u→ |  | v →× w → |  | sinα | = | v→ × w→ | ︸ área base | u → || sinα | ︸ h=altura   = volumen paralelepípedo MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxB I9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipC0de9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0x bba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaqWaaeaa daWadaqaaiqadwhagaWcaiaacYcacaaMe8UabmODayaalaGaaiilaiaaysW7ceWG3bGbaSaaaiaawUfacaGLDbaaaiaawEa7 caGLiWoacqGH9aqpdaabdaqaaiqadwhagaWcaiabgwSixpaabmaabaGabmODayaalaGaey41aqRabm4DayaalaaacaGLOaGa ayzkaaaacaGLhWUaayjcSdGaeyypa0ZaaqWaaeaaceWG1bGbaSaaaiaawEa7caGLiWoacaaMc8+aaqWaaeaaceWG2bGbaSaa cqGHxdaTceWG3bGbaSaaaiaawEa7caGLiWoacaaMe8+aaqWaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gacqaHXoqyaiaawEa7caGLiWoa cqGH9aqpdaagaaqaamaaemaabaGabmODayaalaGaey41aqRabm4DayaalaaacaGLhWUaayjcSdaaleaacaqGHdGaaeOCaiaa bwgacaqGHbGaaeiiaiaabkgacaqGHbGaae4CaiaabwgaaOGaayjo+dWaaGbaaeaadaabdaqaaiqadwhagaWcaaGaay5bSlaa wIa7amaaemaabaGaci4CaiaacMgacaGGUbGaeqySdegacaGLhWUaayjcSdaaleaacaWGObGaeyypa0JaaeyyaiaabYgacaqG 0bGaaeyDaiaabkhacaqGHbaakiaawIJ=aiaaykW7caaMe8Uaeyypa0JaaeODaiaab+gacaqGSbGaaeyDaiaab2gacaqGLbGa aeOBaiaabccacaqGWbGaaeyyaiaabkhacaqGHbGaaeiBaiaabwgacaqGSbGaaeyzaiaabchacaqGTdGaaeiCaiaabwgacaqG KbGaae4Baaaa@A76A@

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Pincha y arrastra sobre el punto D para cambiar el vector u.
Creado con GeoGebra

La altura, h, del paralelepípedo es la distancia que separa los planos paralelos que contienen a las bases del paralelepípedo.

El producto vectorial,   v→ ×w→ MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gB aerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipC0de9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9 Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmODayaalaGaey41aqRa bm4Dayaalaaaaa@3986@  , es el vector   s→  . Su módulo proporciona el área de la base, y la proyección del vector   u→   sobre   s→   resulta ser la altura del paralelepípedo.

Para obtener el volumen del paralelepípedo es indistinto el orden en que se tomen los tres vectores. De acuerdo con las propiedades de los determinantes, el orden en el que intervienen las filas (o columnas) solo afecta al signo. Así pues, se calcula el determinante y se toma su valor absoluto como medida del volumen.

VOLUMEN DEL TETRAEDRO

Al igual que cualquier paralelogramo se puede descomponer, partiendo por cualquier diagonal, en dos triángulos iguales,   cualquier paralelepípedo puede descomponerse, empleando sus diagonales, las internas y las de las caras, en SEIS tetraedros que tienen el mismo volumen, aunque no son necesariamente iguales (ver figura).

Así pues,

      volumen del tetraedro determinado por   u→ ,  v→  y   w→ =16 | [ u→ ,  v→ ,  w→ ] |. MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLw zYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipC0de9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Fir pepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeODaiaab+gacaqGSbGaaeyDaiaab2gacaqGLbGaaeOBaiaabccac aqGKbGaaeyzaiaabYgacaqGGaGaaeiDaiaabwgacaqG0bGaaeOCaiaabggacaqGLbGaaeizaiaabkhacaqGVbGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeiD aiaabwgacaqGYbGaaeyBaiaabMgacaqGUbGaaeyyaiaabsgacaqGVbGaaeiiaiaabchacaqGVbGaaeOCaiaabccacaqGGaGabmyDayaalaGaaii laiaaysW7ceWG2bGbaSaacaqGGaGaaeyEaiaabccacaaMe8Uabm4DayaalaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOnaaaadaabdaqaamaadm aabaGabmyDayaalaGaaiilaiaaysW7ceWG2bGbaSaacaGGSaGaaGjbVlqadEhagaWcaaGaay5waiaaw2faaaGaay5bSlaawIa7aiaac6caaaa@7 116@

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Pincha y arrastra sobre los deslizadores a y b.
Creado con GeoGebra

En un primer paso, mediante el deslizador a, se descompone el paralelepípedo en dos prismas oblicuos de base triangular iguales.

En segundo lugar, mediante el deslizador b, se descompone el prisma de la izquierda, empleando otra vez las diagonales, en tres tetraedros.

El tetraedro ADEF tiene el mismo volumen que el tetraedro E′1A′B′C′ (1/3 del área de la base por la altura). Basta con tomar como bases DEF en el primero y A′B′C′ en el segundo, que son dos triángulos iguales; la altura para ambos tetraedros es la altura del paralelepípedo.

También el tetraedro E′3A′2B′3F′1 tiene el mismo volumen que el primer tetraedo, ADEF. Basta tomar como bases los triángulos A′2B′3F′1 y ADF que resultan ser iguales como resultado de dividir un paralelogramo por su diagonal. También son iguales las alturas de estos dos tetraedros, la distancia de E a la base y de E′3 a la suya.