Anteriormente hemos estudiado el contraste paramétrico en poblaciones normales, binomiales etc. pero en la práctica, en muchos casos no se conoce la distribución a la que se ajusta la variable aleatoria.

          Para comparar la distribución de unos datos obtenidos experimentalmente y recogidos en una muestra aleatoria simple y una determinada distribución teórica, nos basaremos en la distribución de χ² . La hipótesis H₀ será la de bondad de ajuste.

Este contraste se hace tanto para distribuciones discretas como continuas:

1.-En el caso continuo como el de las distribuciones normal, exponencial, uniforme.. etc. se divide el rango de la variable aleatoria en k intervalos A₁,A₂,........A_k , cuyas probabilidades p₁,p₂,.....p_k se determinan basándose en la distribución de probabilidad teórica y como siempre, p₁+p₂+....+p_k=1.

Consideramos una muestra aleatoria simple de tamaño n. En el intervalo A_i (i=1,2,...,k) se ha observado una frecuencia θ_i de ocurrencia de valores de la variable aleatoria. Por otro lado la frecuencia esperada de ocurrencias en A_i es E_i =n·p_i .

2.-Caso discreto: Sea X una variable aleatoria discreta, que toma los valores x₁,x₂,....x_k;  tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño n y registramos las observaciones θ_i de cada x_i de esa muestra aleatoria simple; frecuencias observadas θ_i; siendo el modelo teórico P(X=x_i)=p_i , i=1,2,.....k, n·p_i=E_i las frecuencias esperadas.

En ambos casos sabemos que (θ_i-E_i)² mide la diferencia entre la frecuencia observada y la frecuencia teórica, por lo que, cuanto mayor sea esa diferencia más sentido tiene rechazar H₀.

Asi pues, tenemos:

• Datos: muestra aleatoria simple de tamaño n.

• H_o la variable aleatoria X de distribución F(x) responde a una distribución de probabilidad concreta y ha generado la muestra.

• Estadístico:   χ k-1 2 = ∑ i=1 n (θ i -E i ) 2 E i → → χ k-r-1 2   si H_o es cierta.