Si X₁,X₂,X₃,............X_n son variables aleatorias independientes con medias m_i y varianzas σ_i²  y distribución cualquiera, no necesariamente la misma, y formamos: Y=X₁+X₂+X₃+..........+X_n , cuando n es grande podemos aproximar Y mediante la nueva variable aleatoria: N( ∑ i μ i  ,  ∑ i σ i 2 )

  Es decir, cuando n crece la variable aleatoria Y se puede tipificar, de modo que:

Y- ∑ i μ i ∑ i σ i 2    →   sigue una distribución N(0,1)

         Un caso particular de este teorema se presenta cuando una variable aleatoria binomial, Y, es suma de n variables de Bernouilli X_i independientes, que toman el valor 1 (éxito) ó 0 (fracaso) en caso contrario: Y = X₁ + X₂ + ... + X_n . Entonces si en la distribución binomial Y, B(n,p), hacemos tender n a infinito manteniendo p constante, podemos aproximarla por una distribución Normal de media n.p y de varianza n.p.q: N(n.p,   n.p.q )

Lo que es equivalente a decir que:

La variable aleatoria Y-n.p n.p.q        sigue una distribucion N(0,1)

Esta aproximación es tanto mejor cuanto mayor es n; en la práctica funciona bien cuando n.p>5  y  n.q>5, es decir para n>30 y p no muy cercano a 0 ni a 1.

          Este resultado se conoce como Teorema de Laplace-De Moivre y también como Teorema Central del Límite

          Por último, es necesario realizar las llamadas correcciones de continuidad o de medio intervalo, pues el número de éxitos en la distribución binomial es una variable aleatoria discreta y estamos aproximando su distribución por una normal, que es continua, de manera que debemos "dispersar" sus  valores en una escala continua. Esto lo se consigue representando cada número entero x por el intervalo (x-0.5, x+0.5). Así:

P(X≤x)≈P(X≤x+0.5) P(X<x)≈P(X≤x-1)≈P(X≤x-1+0.5) P(X>x)≈P(X≥x+1)≈P(X≥x+1-0.5) P(X≥x)≈P(X≥x-0.5)