Al estudiar la distribución de Poisson fijamos el tiempo en algún valor t y la distribución del número de ocurrencias en el intervalo [0,t] tenía esta expresión: P(X=r)= e −λt    (λt) r r!       ,     r=0,1,2,...

            Sea ahora P(X =0) la probabilidad de cero ocurrencias en el intervalo [0,t] que vendrá dada por, P(X=0)= e −λt  

que también podemos definir como la probabilidad de que el tiempo para la primera ocurrencia sea mayor que t. Al considerar este tiempo como una variable aleatoria T, tenemos que: P(X>0)=P(T>t)= e −λt =G(t)      ,    t≥0

llamada función de supervivencia o fiabilidad.

            Por consiguiente, si dejamos ahora que el tiempo varíe, considerando la variable aleatoria T como el tiempo para la primera ocurrencia, entonces :

G(t)=P(T>t)=1−P(T≤t)=1−F(t)= e −λt   ,    t≥0      ⇒    F(t)=1− e −λt luego

  y puesto que f(t)=F´(t) la densidad es  f(t)=λe^-λ.t      

Una variable es discreta (nº de ocurrencias) y la otra (el tiempo) es absolutamente continua.